7-3. ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Построение корневого годографа — это вспомогательный, промежуточный этап в исследовании качества.

Для непосредственной оценки показателей качества собственной составляющей переходного процесса (7-6) с помощью корневого годографа выразим сначала через нули и полюсы относительную переходную составляющую регулируемой величины при единичном ступенчатом управляющем воздействии

Очевидно, что установившееся значение равно единице. Разлагая на множители числитель и знаменатель получаем:

где — коэффициенты при старших членкх соответственно знаменателя и числителя передаточной функции замкнутой системы, — соответственно полюсы и нули этой передаточной функции, причем полюсы являются точками корневого годографа, построенного при заданном А, а нули — его конечными точками. Так как

то

и, следовательно,

Постоянная называется амплитудой функции Условимся приписывать индекс составляющей, рассматриваемой в данный момент. Тогда

Если в числителе передаточной функции нулей нет, то

и

Из рассмотрения выражений (7-16) и (7-17) можно сделать следующие выводы.

1. Амплитуда каждой из составляющих собственной переходной функции возрастает при сближении соответствующего ей полюса с другим полюсом.

2. Наиболее сильно влияют на переходный процесс, как правило, полюсы, ближе расположенные к мнимой оси, поскольку им соответствуют наибольшие амплитуды Однако для уверенного суждения о доминирующих полюсах следует проверить значения расчетом.

3. По мере удаления полюсов от мнимой оси их влияние ослабевает. При удалении всех остальных полюсов, кроме данного, амплитуда несколько возрастает, стремясь в пределе к единице при

В этом можно убедиться, приведя (7-17) к виду

4. При сближении полюса с каким-либо нулем амплитуда убывает и становится равной нулю, когда полюс и нуль совпадут. При этом порядок уравнения понизится вследствие сокращения в числителе и знаменателе двух одинаковых множителей, рассматриваемая составляющая переходной функции исчезнет, т. е.

нуль, совпадающий с полюсом, компенсирует влияние последнего. Близкий к полюсу нуль ослабляет влияние полюса, уменьшая амплитуду. Однако при сокращении множителей в числителе и знаменателе передаточной функции происходит потеря управляемости по некоторым воздействиям в системе, поэтому следует убедиться, что система остается работоспособной по существенным воздействиям.

5. Приближение нулей к началу координат приводит к возрастанию амплитуды. В этом можно убедиться, приведя второй множитель в (7-16) к виду

Таким образом, корневой годограф позволяет сравнительнопросто найти амплитуды и выделить доминирующие полюсы. При этом те составляющие, у которых амплитуды меньше доминирующей на порядок или более, можно не учитывать, т. е. с помощью годографа можно обоснованно понизить порядок уравнения.

С помощью корневого годографа можно построить отдельные составляющие переходного процесса. Если полюс вещественный, способ построения очевиден по (7-16) вычисляется (соответствующие длины векторов берутся из годографа), затем умножаются на значения функции которые берутся из таблиц. При комплексном полюсе расчет целесообразно вести так.

Каждый из сомножителей изображается на годографе вектором, проведенным из начала координат в точки Из чертежа определяются длины векторов и их фазовые углы . Так же находятся длины и фазовые углы векторов проведенных в точки из полюса . Тогда

где

Для сопряженного корня получится сопряженная комплексная величина Соответствующая комплексным полюсам составляющая переходного процесса

Вычисление сводится к простым арифметическим операциям над величинами, полученными из корневого годографа, и табличными функциями.

Если к системе приложено заданное воздействие в виде функции времени, то показатели качества зависят от того, что требуется — подавить или воспроизвести воздействие. Подавление сводится к уменьшению собственной и вынужденной составляющих, и для этого случая сохраняют силу правила относительно нулей и полюсов передаточной функции, приведенные выше. Для уменьшения вынужденной составляющей следует, кроме того, стремиться приблизить нули передаточной функции к полюсам спектра воздействия.

При воспроизведении для уменьшения ошибки, как показано в [58], следует стремиться по возможности удалять от полюсов спектра воздействия как нули, так и полюсы передаточной функции. Сближение нуля передаточной функции с полюсом воздействия приводит к подавлению соответствующей составляющей, т. е. к искажению воспроизводимой функции, а сближение полюсов вызывает «обобщенный» резонанс, при котором также увеличивается искажение. Полезно также приближать нули передаточной функции к ее полюсам, так как при этом уменьшается собственная составляющая, искажающая воспроизведение.

Сближение нулей передаточной функции с полюсами воздействия приводит к уменьшению установившихся ошибок.

Для уменьшения вынужденной составляющей можно, используя средства коррекции, уменьшать коэффициенты в слагаемых вынужденной составляющей

где — полюс спектра воздействия. Уменьшить величину этих коэффициентов, приблизив нуль передаточной функции [корень полинома к полюсу воздействия . В самом деле, , где — нули. Когда один из этих нулей становится равным коэффициент обращается в нуль. Например, постоянное воздействие со спектром компенсируется введением астатизма, т. е. выбором Воздействие со спектром компенсируется введением двух нулей в начале координат: т. е. введением астатизма второго порядка. Экспоненциальное воздействие со спектром компенсируется выбором одного из нулей полинома равным полюсу воздействия, т. е. —а, и т. д.

Пусть из корневого годографа следует, что доминирующий полюс — вещественный, ближайший к мнимой оси:

а соответствующая этому полюсу амплитуда равна Тогда время регулирования можно приближенно оценить как время

убывания ординат экспоненты до значения где относительное значение изменения амплитуды:

Если, например, то

Пусть доминирует ближайшая к мнимой оси пара комплексных полюсов — и амплитуда, соответствующая этой паре колебательной составляющей процесса, равна

В этом случае для времени регулирования также можно получить приближенную оценку, если рассматривать в качестве время уменьшения значения до При получим ту же формулу

Если среди доминирующих полюсов имеется пара комплексных (остальные комплексные корни могут не учитываться), а вещественных полюсов всего , то перерегулирование приближенно можно оценить так [61]. Если бы влияла только пара комплексных корней, то

где — фазовые углы векторов, проведенных в полюс соответственно из полюсов и нулей передаточной функции, а

Влияние экспоненциальных составляющих можно учесть грубо, прибавив к найденному перерегулированию сумму значений всех ординат экспоненциальных составляющих в момент достижения максимума переходной кривой: