8-3. СИНТЕЗ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

Построение желаемой ЛAX.

Построение желаемой разомкнутой системы обычно начинают с нанесения по заданным требованиям к качеству некоторых ее основных участков. К таким участкам относятся низкочастотная и высокочастотная асимптоты и среднечастотная часть.

Пусть замкнутая система воспроизведения для образована путем замыкания единичной отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией

Наклон низкочастотной асимптоты к оси абсцисс зависит от порядка астатизма а ее расстояние от оси — от требуемых коэффициентов усиления или добротности разомкнутой цепи. Порядок астатизма принимается равным нулю, если при

постоянном воздействии допускается статическая ошибка При этом

и низкочастотная асимптота представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и удаленную от нее на расстояние, равное логарифмических единиц дБ).

Если статическая ошибка при постоянном воздействии недопустима, но при медленных изменениях воздействия (при низких частотах) допускается ошибка, пропорциональная скорости изменения воздействия, то принимается первый порядок астатизма При этом наклон низкочастотной асимптоты ЛAX равен — Коэффициент добротности в астатической системе первого порядка определяется по заданной допустимой скоростной ошибке при заданной постоянной скорости изменения воздействия

Для определения положения асимптоты достаточно задать одну из ее ординат. При частоте (ордината низкочастотной асимптоты в астатической системе первого порядка равна дБ). Можно также задать точку пересечения асимптоты с осью абсцисс:

Астатизмы второго и высших порядков требуются сравнительно редко. Если порядок астатизма равен то наклон низкочастотной асимптоты равен — ее ордината при равна ( дБ), а точка пересечения с осью абсцисс . Чаще всего, исходя из условия наиболее легкого технического, осуществления коррекции, предполагают, что корректирующее звено не изменяет наклона высокочастотной асимптоты неизменяемой части системы, т. е. что высокочастотные асимптоты неизменяемой части и желаемой системы параллельны.

Среднечастотной частью называют отрезок в окрестности частоты, среза ) при которой коэффициент усиления в разомкнутой системе равен единице, т. е. при которой пересекает ось абсцисс.

В [53, 60] предложено определять так, чтобы она лежала в пределах

где нижняя граница находится по заданным времени регулирования и перерегулированию а из графиков, показанных на рис. 7-27. По определяют по одному из графиков выраженному в величинах . Пусть оказалось, что

Приравнивая эту величину заданному времени регулирования, найдем .

Граница определяется из условия

Здесь означает время идеального процесса, который имеет место, если система из состояния сначала разгоняется с максимальным ускорением половины заданного пути а затем тормозится с максимальным замедлением —

Приведенные оценки удобны тем, что позволяют установить весьма быстро и просто, но они являются лишь ориентировочными по ряду причин. Первая причина — фактическая вещественная частотная характеристика замкнутой системы неизвестна, а при составлении графиков рис. 7-27 предполагалось, что она равна сумме двух трапеций. По этой же причине перед синтезом не известно, каким из двух изображенных графиков следует пользоваться. Вторая причина — в реальном процессе ускорения не будут постоянными, поэтому вычисление неточно.

В качестве среднечастотной части желаемой ЛАХ далее принимается прямолинейный отрезок, проходящий через точку с наклоном Строгого обоснования для этой рекомендации нет, но большое число проведенных расчетов показывает, - что при соблюдении этой рекомендации результаты синтеза получаются хорошими, а в противном случае качественная коррекция системы удается редко. В частности, ЛАХ системы, в которой реализуется точный оптимальный в указанном выше смысле режим, имеет в окрестности именно такой наклон.

После нахождения асимптот и среднечастотной части - в окрестности частоты среза нужно выполнить построение желаемой ЛАХ путем сопряжения трех найденных частей. Для этого прежде всего надо найти границы среднечастотной части. В [60] предложено устанавливать эти границы исходя из необходимого запаса устойчивости по амплитуде и фазе. В соответствии с рекомендациями § 7-4 [формула (7-68)] понайденному из графиков рис. 7-27 Рмакс находим

и затем выбираем границы среднечастотной части так, чтобы в граничных точках и между ними желаемая ЛАХ не входила внутрь области, ограниченной на рис. 8-10 линиями

Кривые, построенные на рис. 8-10, представляют собой линии постоянных значений ординат вещественных частотных характеристик координатах , т. е. являются отображениями в этих координатах окружности рис. 7-21. Их своеобразная

форма в виде симметричных восьмерок позволяет [если учесть формулу (7-68)] существенно упростить синтез.

В самом деле, кривые симметричны относительно оси . Их можно заменить описанным прямоугольником со сторонами . Внутри этого прямоугольника фазы не превышают значений а амплитуды — значений .

Рис. 8-10. (см. скан)

Если желаемая ЛАХ не входив в каком-то интервале частот внутрь этого прямоугольника, то она тем более не входит и внутрь кривых . Границы прямоугольника отображаются на ЛАХ в виде полосы . Положение границ среднечастотной части ЛАХ следует выбирать так, чтобы в точках пересечения ее с границами упомянутой полосы и между ними запас по фазе был не меньше заданного. Процедура выбора поясняется ниже в примере.

После определения границ среднечастотной части она далее сопрягается с асимптотами так, чтобы обеспечивалась наиболее простая форма корректирующего звена. Техническая реализация звена тем проще, чем меньше изломов имеет его ЛАХ. Из последующего легко видеть, что наименьшее число изломов в

характеристике звена будет иметь место в том случае, когда изломы желаемой ЛАХ происходят при тех же частотах, что и изломы ЛАХ неизменяемой части. Поэтому переход от границ среднечастотной части к асимптотам выполняется с помощью прямолинейных отрезков (так, чтобы сопрягающие частоты желаемой ЛАХ и ЛАХ неизменяемой части совпадали), по возможности наклоненных друг к другу под теми же углами, под какими встречаются соответствующие отрезки ЛАХ неизменяемой части. Эта процедура также иллюстрируется примером.

Рис. 8-11.

Построения желаемой фазовой ЛЧХ при таком способе не требуется вместо нее выполняется проверка соблюдения запасов устойчивости, описанная выше.

Возможны и другие варианты построения желаемой ЛАХ, например, по нескольким заданным коэффициентам ошибок и запасу устойчивости по фазе у. Этот вариант рассмотрен в [56], где приведены специальные номограммы и таблицы, связывающие значения и у с сопрягающими частотами и одной из ординат ЛАХ.

Весьма удобна для синтеза желаемых ЛАХ серия графиков Г. Честната и Р. Майера [77], приводимых в приложении 4. Для систем приемлемого качества из графиков эмпирически установлены грубо приближенные соотношения: при

Нахождение ЛАХ при последовательной коррекции.

Если корректирующее звено включено последовательно с неизменяемой частью системы (рис. 8-11, а), то передаточная функция разомкнутой системы равна произведению передаточных функций корректирующего звена и неизменяемой части системы. Соответственно логарифмические частотные характеристики (как амплитудная, так и фазовая) равны сумме соответствующих логарифмических частотных характеристик корректирующего звена и неизменяемой части системы.

Напомним, что при расчетах коэффициенты передачи выносятся перед выражениями и последние поэтому имеют свободные члены как в числителе, так и в знаменателе, равные единице. Кроме того, подразумевается, что заданы или определены требуемый порядок астатизма величина коэффициента усиления К или добротности и передаточная функция неизменяемой части объекта. Так как заданный астатизм получается с помощью вводимых последовательно интегрирующих звеньев,

а величины К или с помощью вводимых последовательно безынерционных усилителей, то эти звенья считаются также заданными и исключаются из рассмотрения, для чего к неизменяемой части объекта добавляется последовательное звено с передаточной функцией где Ко и коэффициент передачи и астатизм неизменяемой части объекта. Таким образом, характеристика неизменяемой части системы, включающей объект и упомянутые звенья, будет:

Нанесем на график эту характеристику и характеристику желаемой системы. Последнюю строим по заданным качественным показателям с помощью любого из методов.

Ординаты ЛАХ корректирующего звена равны разности ординат желаемой ЛАХ и ЛАХ неизменяемой части. Находим эти разности для всех сопрягающих частот ЛАХ желаемой и неизменяемой части и соединяем полученные точки прямолинейными отрезками. В результате получается искомая асимптотическая ЛАХ корректирующего звена.

Нахождение ЛАХ коректирующих звеньев при параллельной коррекции.

Рассмотрим схему следящей системы, показанную на рис. 8-11,б. Корректирующее устройство с искомой передаточной функцией подключено по схеме отрицательной обратной связи к неизменяемой части с передаточной функцией . Не охватываемая корректирующей цепью неизменяемая часть имеет передаточную функцию Желаемая передаточная функция считается известной.

Передаточная функция разомкнутой системы должна быть равна желаемой передаточной функции

откуда находится передаточная функция корректирующего звена

Отсюда видно, что. в общем случае использовать преимущества логарифмических частотных характеристик для синтеза параллельного корректирующего устройства не удается. Для выполнения синтеза следует привести выражение к виду

Если части системы с передаточными функциями состоят из простейших последовательно включенных элементов, то знаменатель в (8-28) сразу получается разложенным на

простейшие множители. Остается выполнить разложение на них числителя. Эта операция потребует вычисления корней стоящего в числителе полинома.

В некоторых случаях разложения числителя на множители можно избежать, воспользовавшись упрощенным приближенным решением. Так, если в области существенных частот или в значительной ее части имеет место соотношение

то

и

т. е. в этом случае параллельное корректирующее устройство синтезируется так же, как последовательное, с той разницей, что для нахождения ЛАХ корректирующей цепи желаемая ЛАХ вычитается из ЛАХ неохваченной части или, если таковой нет, берется равной передаточной, функции желаемой системы с обратным знаком.

За пределами полосы частот, в которой выполняется неравенство (8-30), характеристику корректирующей цепи можно дополнить, построив низкочастотную и высокочастотную асимптоты и выполнив их сопряжение с найденной среднечастотной частью. Для построения асимптот представим передаточные функции в виде

если и

при

Низкочастотная асимптота горизонтальна, если и имеет наклон, равный если

Высокочастотная асимптота имеет наклон, равный где — разность наивысших степеней числителя и знаменателя. Если обозначить через то, соответственно степени полиномов а через соответственно степени то при имеем

а при

Сопряжение среднечастотной части с асимптотами целесообразно выполнять с помощью отрезков с разностью наклонов в в точках их сопряжения.

Нахождение по ЛАХ передаточных функций цепей из минимально-фазовых звеньев и реализующих их электрических схем.

В результате описанного выше этапа синтеза находятся асимптотические (кусочно-линейные) приближенные ЛАХ корректирующих устройств, по которым восстанавливаются передаточные функции минимально-фазовых цепей с помощью правил, которые в § 4-4 были изложены для обратной задачи — построения по передаточным функциям асимптотических ЛАХ.

Сначала по наклону низкочастотной асимптоты определяется порядок астатизма т. е. показатель степени при в формуле (8-29). Далее, для точек излома ЛАХ определяются соответствующие им сопрягающие частоты и вычисляются соответствующие постоянные времени Если наклоны смежных отрезков в точке сопряжения отличаются на то соответствующий множитель помещается в знаменателе передаточной функции, если в точке ; ЛАХ изламывается книзу, и в числителе, если излом происходит вверх. При разности наклонов в точке сопряжения, равной определяется множитель который помещается в знаменатель или числитель по тому же правилу. Показатель демпфирования определяется по величине пика характеристики в точке сопряжения. [При отсутствии пика принимаем что равносильно представлению рассматриваемого множителя в виде

По ординате у точки пересечения низкочастотной асимптоты (или ее продолжения) с линией находится из соотношения ( дБ), величина коэффициента К. Таким образом, передаточная функция корректирующего звена восстанавливается в виде (8-29).

Способы нахождения электрических цепей, реализующих подобные передаточные функции, описываются в курсах теории цепей и в специальной литературе [29]. Однако, для практических целей в большинстве случаев можно воспользоваться таблицей ряда типовых цепочек, приведенной в приложении 5. В таблице даны схемы и соответствующие им ЛАХ и передаточные функции, параметры которых выражены через параметры электрической схемы. Если в таблице требуемую характеристику не удается отыскать точно, рекомендуется попытаться выбрать близкую к ней по форме (обычно более простую) характеристику и затем проверить результат синтеза расчетом переходного процесса для выбранной схемы коррекции.

В том случае, когда звено в таблице имеет коэффициент передачи последовательно с корректирующим звеном следует предусмотреть дополнительно усилитель с коэффициентом . Если то коэффициент дополнительного усилителя будет

Если окажется, что высокочастотная асимптота не совпадает с желаемой, сначала следует проверить, отражается ли это на качестве процесса в синтезируемой системе, и лишь в случае, если требования, предъявляемые к качеству, не выполняются, необходимо принять меры к коррекции и высокочастотной асимптоты.

Рис. 8-12.

Рассмотренные выше методы синтеза по логарифмическим частотным характеристикам разработаны для следящих систем, предназначенных для воспроизведения задающих воздействий.

Для синтеза систем автоматического регулирования, предназначенных для подавления возмущений, к использованию этих методов следует подойти с осторожностью и вниманием. Их можно применить тогда, когда режим системы аналогичен режиму следящей системы. Например, для обеспечения заданных показателей качества процесса при ступенчато-скачкообразном изменении настройки регулятора. В самом деле, в этом случае, полагая в схеме рис. получаем схему САР, аналогичную следящей системе, в которой воспроизводимое воздействие равно а выходная величина х.

Если требуется обеспечить требуемое качество процесса в при скачкообразном изменении нагрузки то синтез по ЛАХ существенно усложняется и обычно теряет свои преимущества. В качестве примера рассмотрим схему корректирующего устройства, включенного последовательно регулятору (т. е. обратной связи, рис. 8-12,б) и в цепь объекта (прямую цепь, рис. 8-12, в). На рис. 8-12, г показана схема замкнутой желаемой системы, для которой желаемая ЛАХ разомкнутой системы с

передаточной функцией построена по рассмотренным ранее методам. В замкнутом состоянии все схемы должны быть эквивалентны друг другу, поэтому получаем для рис. 8-12, б

откуда

и для рис. 8-12, г

откуда

И в том и в другом случае синтез последовательного корректирующего устройства оказывается значительно сложнее, чем в следящей системе. Следует также отметить, что метод без дополнительных поправок нельзя применять для синтеза астатических систем автоматического регулирования (для астатических следящих систем его использовать можно). Это связано с тем, что желаемая ЛАХ строилась в предположении, что выходная величина в установившемся режиме пропорциональна входному воздействию. В статической САР можно считать, что х пропорциональна но в астатической системе установившееся х не зависит от понятие перерегулирования теряет смысл, и желаемая ЛАХ должна строиться исходя из других показателей качества и на основе других исходных данных, зависящих от структуры системы. Но обычно этого нет смысла делать, так как логарифмические характеристики теряют свои преимущества из-за сложности зависимости от других передаточных функций. Практически в случае САР или ограничиваются синтезом ее корректирующих устройств для режима скачкообразной перестройки регулятора, или же прибегают к другим методам синтеза — по расположению нулей и полюсов, по интегральным оценкам или по обычным частотным характеристикам.

Пример 1. Синтез желаемой ЛАХ по диаграммам Г. Честната и Р. Майера.

Требуется обеспечить

Коэффициент скоростной ошибки Наклон ЛАХ при частотах, больших должен быть равен

Решение. Частоту в соответствии с заданием принимаем равной Из большинства графиков приложения 4 можно усмотреть, что для обеспечения достаточно малых частоту следует выбирать, как правило, большей, чем . Примем

Для этих данных можно получить много решений. Одно из них получается, например, из графиков с наклонами и Из него видно, что для дБ и имеем:

Построив график с первой сопрягающей частотой , неизвестной частотой частотой среза и ординатой дБ при найдем:

Рис. 8-13.

Таким образом, одна из передаточных функций разомкнутой системы, удовлетворяющих поставленным условиям, будет:

Пример 2. Дана передаточная функция объекта

Заданы: при начальном рассогласовании рад.

Учитывая, что строим характеристику неизменяемой части системы

(ломаная 1 на рис. 8-13).

Низкочастотная асимптота этой характеристики имеет наклон и проходит через точку (46 дБ).

Сопрягающие частоты характеристики объекта равны:

В каждой из сопрягающих частот крутизна ЛАХ изменяется на (-20 дБ/дек).

Верхний предел для частоты среза найдем из выражения

Значение перерегулирования на графике рис. 7-27, а соответствует этому значению соответствует в свою очередь откуда

Частоту среза желаемой ЛАХ примем

Наклон желаемой ЛАХ в окрестности частоты среза примем равным

Границы среднечастотной части установим, исходя из необходимого запаса устойчивости по амплитуде и фазе. По найденному из графиков рис. 7-27 Рмакс находим:

Примем с некоторым запасом

Как видно из полярной диаграммы рис. 8-10, описанный вокруг кривых с индексами прямоугольник имеет стороны ±0,7 лог и ±40°. Это означает, что амплитудно-фазовая характеристика системы не должна входить внутрь этого прямоугольника, или, иными словами, в полосе на графике ЛАХ, где ординаты ЛАХ заключены в пределах

избыток фазы должен быть не меньше

Нанесем на график рис. 8-13 линии лог лог ( дБ). Выберем точку излома желаемой ЛАХ на левом конце среднечастотной части сначала произвольно. Пусть это будет, например, частота (прерывистая линия точка . Определим значение фазы на границе запретной полосы, т. е. при частоте Избыток фазы проверяем по приближенной формуле

где — сопрягающие частоты, меньшие рад/с (изломами правее пренебрегаем, считая их достаточно удаленными); — число сопрягающих частот, при которых наклон характеристики увеличивается на (в данном случае ) при — число сопрягающих частот, при которых наклон уменьшается на (в примере при ).

Итак,

При рад/с получаем:

Таким образом, запас по фазе имеется с избытком. Так как обычно расширение полосы частот в низкочастотную область приводит к усложнениям конструкции, можно переместить место излома вправо.

Определим, насколько молено сдвинуть излом вправо. Заметим, что при таком сдвиге частоты сон и умножаются на некоторый постоянный множитель . В радиальной мере рад. Величину найдем из равенства

откуда Окончательно принимаем с некоторым запасом Тогда Соответствующая линия нанесена на рис. 8-13 сплошной чертой (линия

Для упрощения конструкции корректирующего звена попытаемся выполнить его так, чтобы его ЛАХ имела не более четырех изломов. Это позволяет продолжить средиечастотную часть характеристики вправо до частоты рад/с (линия ). Изломы имеют место при частотах рад/с (точка А), рад/с (точка В), От точки проведем желаемую ЛАХ так, чтобы она шла параллельно характеристике объекта (прерывистая линия

Избыток фазы на правой границе полосы дБ) при проверяем по приближенной формуле

где — относительный наклон желаемой ЛАХ в окрестности частоты среза (в данном случае наклон равен , он принимается за единичный, и поэтому ); — сопрягающие частоты, удовлетворяющие условию, (желаемая ЛАХ пересекается с линией 0,7 лог при частоте поэтому ; - сопрягающие частоты, лежащие между (в данном примере такая частота одна: ).

Подставляя эти значения, получаем:

Запас по фазе не выдержан, причем наибольшую роль в его уменьшении сыграла сопрягающая частота сого

Однако можно заметить, что в области высоких частот некоторые нарушения запаса устойчивости могут и не приводить к сильному ухудшению процесса. В самом деле, в данном случае для линейной части желаемой ЛАХ для частот , лежащих левее имеем:

При частоте среза запас по фазе

Учитывая, что этот запас значительно больше допустимого и что допустимый запас в 40° обеспечивается для большей части полосы существенных частот, пробуем пойти на некоторый риск и принять за желаемую

характеристику Вычитая из желаемой ЛАХ характеристику объекта, находим последовательно корректирующего устройства (см. рис. 8-13,б). Этой характеристике соответствует передаточная функция

Проверка показывает, что при данном корректирующем устройстве процесс будет иметь перерегулирование 35% и затухает примерно за 0,9 с, совершив за это время два колебания. Как и следовало ожидать, несоблюдение требуемого запаса по фазе привело к некоторому превышению допустимых перерегулирования (на 5%) и времени регулирования (на 0,1 с, или на 12%). Если это отклонение от заданных условий качества приемлемо, можно остановиться на данном варианте.

Рис. 8-14.

Выбираем из приложения 4 схему, показанную на рис. 8-14, характеристика которой имеет требуемый вид. Передаточная функция изображенного на схеме контура

где

Раскрывая скобки в выражении заданной передаточной функции и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем:

откуда

Далее

откуда

Выбирать параметры можно неоднозначно. Один из вариантов:

В рассматриваемом случае коэффициенты передачи у желаемого и выбранного контуров одинаковы и равны единице, и синтез на этом заканчивается. При расхождении коэффициентов пришлось бы ввести дополнительный корректирующий усилитель.

Если полученное нарушение условий качества недопустимо, следует искать пути улучшения коррекции.

Опасной для качества, как было показано, оказалась сопрягающая частота Устраним ее, продолжив желаемую ЛАХ до следующей сопрягающей частоты рад/с (линия При этом запас устойчивости по фазе на правом конце полосы ±14 дБ станет равным:

т. е. почти приблизится к заданному, и перерегулирование и время регулирования войдут в допустимые пределы, в чем можно убедиться проверочным расчетом переходного процесса. Но при этом характеристика корректирующего контура усложнится, приняв вид, показанный на рис. Соответствующая передаточная функция будет:

Контура с такой передаточной функцией в приложении нет. Его синтез следует осуществлять специальными методами теории цепей [29].