ГЛАВА ТРЕТЬЯ. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

3-1. СТАТИКА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Статика изучает равновесные установившиеся состояния при постоянных воздействиях. Уравнения статики формально можно получить из уравнений динамики, приравняв в последних нулю все производные по времени переменных и воздействий. Так, из уравнений (2-1) получаются уравнения статики

из уравнений (2-19)-

и т.д. Но чаще уравнения статики составляются независимо. Задаются нелинейные уравнения статики элементов, из них получаются уравнения системы и находятся «рабочие точки», в окрестности которых далее производится линеаризация уравнений динамики. Нелинейные характеристики элементов обычно задаются графически.

В процессе получения характеристик системы приходится находить статические характеристики группы соединенных между собой звеньев или системы в целом по характеристикам звеньев.

Если два звена соединены последовательно, а выполняемые ими нелинейные преобразования заданы в виде

т. е. в эквивалентном звене, замещающем два последовательно-включенных, выполняется операция взятия функции от функции. Эта операция вообще не перестановочна, и нелинейные звенья в последовательной цепочке нельзя менять местами.

Результирующую характеристику двух параллельно включенных звеньев легко найти графически, построив характеристики I и II обоих звеньев в одинаковом масштабе на одном графике и просуммировав их ординаты.

На рис. 3-1 показано нахождение результирующей характеристики (IV) трех последовательно включенных звеньев Заданные характеристики звеньев строятся соответственно в квадрантах I, II и III, но так, чтобы характеристика каждого последующего звена была повернута на 90° против часовой стрелки относительно характеристики предыдущего звена.

Задаемся некоторым значением (точка 1 на оси абсцисс) и затем, проводя от этой точки между кривыми отрезки прямых, параллельных координатным осям, как показано на рисунке, находим точки 2, 3, 4 и 5. Точка 5 — вершина замыкающего построение прямоугольника, принадлежит искомой статической характеристике соединения трех звеньев. Если соединяются два звена, то вместо характеристики III строим биссектрису координатного угла (линия на рисунке).

Рис. 3-1.

На рис. 3-2 показана результирующая характеристика III нелинейного звена I, охваченного нелинейной обратной связью с характеристикой II. В первом квадранте построена характеристика звена I. Задавшись некоторым значением (точка I), найдем значение при наличии обратной связи. Без обратной связи Но при наличии обратной связи (отрицательной) отрезок будет равен результирующему входному воздействию где — сигнал обратной связи (3-2, а). Поэтому для нахождения к 0а надо прибавить величину воздействия обратной связи:

Если во втором квадранте построить характеристику II обратной связи направив ось влево, то величина будет равна сумме отрезков 0а и т. е. расстоянию от точки 2 до точки 1. Перенеся этот отрезок измерителем по горизонтали вправо так, чтобы левый конец отрезка лег на ось ординат, получаем точку 3 результирующей характеристики.

При положительной обратной связи Характеристику удобно строить в первом квадранте, совмещая ось с осью (рис. 3-2, б). Искомая абсцисса результирующей характеристики III равна разности: т. е. расстоянию между кривыми и II.

С помощью методики, показанной на рис. 3-1, можно решить и обратную задачу: по заданной нелинейной характеристике звена найти характеристику, которой должно обладать последовательно включенное звено II, чтобы результирующая характеристика была прямолинейной. В тех же случаях, когда построение звена с нужной нелинейной характеристикой затруднительно, спрямление можно выполнить приближенно с помощью линейных звеньев.

Рис. 3-2.

Рис. 3-3.

На схеме рис. 3-3, а последовательно с нелинейным звеном включен линейный усилитель с большим коэффициентом усиления и образующаяся цепь охвачена обратной связью с коэффициентом Без дополнительных звеньев имеем:

с дополнительными элементами

или

При достаточно большом получим:

т. е. нелинейность как бы подавляется и результирующая характеристика приближается к характеристике линейного звена с коэффициентом На рис. 3-3, б показано спрямление характеристики I при значениях (кривая II).

Пусть теперь линейный усилитель с большим коэффициентом усиления охвачен нелинейной обратной связью Тогда

при достаточно большом получим:

т. е. с увеличением обратная результирующая характеристика системы приближается к характеристике обратной связи. Этот же эффект можно получить, охватив нелинейной обратной связью интегратор. Имеем В установившемся режиме откуда где — функция, обратная Такого рода схемы с цифровыми интеграторами — следящие интеграторы — используются для воспроизведения обратных функций, в частности для решения алгебраических уравнений высоких степеней [12].

Спрямление характеристик с помощью усилителя и обратной связи используется в электроприводе. При этом происходит не только спрямление, но и сужение петли гистерезиса в результирующей характеристике.