ГЛАВА ВТОРАЯ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

2-1. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ

Математические описания систем автоматического управления и их элементов часто называют также математическими моделями. Модели отображают только существенные для данного конкретного исследования свойства оригинала, не учитывая малосущественные факторы. Это приводит к тому, что один и тот же объект в разных исследованиях может представляться разными моделями.

В теории автоматического управления распространены три основных способа описания: поэлементный, для системы в целом в управляемых переменных и в переменных состояния (в нормальной форме Коши).

Поэлементное описание наиболее естественно для инженера — при таком описании на основании изучения физических свойств сначала получают уравнения для отдельных входящих в систему конструктивных или функциональных элементов и для связей, объединяющих эти элементы в систему. В левые части уравнений включают при этом физические выходные переменные элементов и их производные по времени, в правые части — физические входные переменные — воздействия на элементы. Естественно, что некоторые переменные будут входными для одного элемента и выходными для другого. Число переменных при таком описании обычно оказывается большим, чем число управляемых переменных, так как оно включает «промежуточные» переменные, не всегда интересующие исследователя процесса управления в системе, хотя и важные для других специалистов, занятых конструированием элементов, их наладкой или обслуживанием. К промежуточным переменным относятся, например, перемещения органов регуляторов, золотников, сервомоторов, шходные и выходные величины усилителей, преобразователей и т. д.

Для получения описания системы в целом исследователь исключает все не интересующие его промежуточные переменные в уравнениях остаются только регулируемые величины (и их

производные), записываемые в левых частях уравнений, и возмущающие и управляющие воздействия на систему в правых частях.

В упомянутых двух видах описания (поэлементном и системном) число входящих в уравнения физических переменных, как правило, оказывается недостаточным для полного описания состояния динамической системы в том смысле, что по их набору в один момент еще нельзя определить их значения во все последующие моменты. Разумеется, из этого не следует, что уравнения непригодны для исследования, просто, кроме самих переменных, в фиксированный начальный момент времени надо задавать еще некоторые из их производных. Необходимость более четкого определения набора переменных, полностью описывающих состояния, была известна давно. Одним из способов установить такой набор является введение в теорию управления понятия числа степеней свободы и обобщенных координат, заимствованное из классической механики.

В механике числом степеней свободы называют число возможных произвольно выбираемых независимых движений. Это понятие сформулировано для геометрического пространства. Положение в пространстве свободных, не связанных друг с другом материальных точек задается геометрическими координатами. Если часть точек не свободна, т. е. ограничена, например, голономными связями, налагаемыми на координаты, то положение системы точек определяется теперь уже меньшим числом независимых координат:

Положение системы можно определять не декартовыми, а обобщенными лагранжевыми координатами число которых равно числу степеней свободы т.

Понятие числа степеней свободы очень удобно в механике. Оно наглядно интерпретируется на примерах различных механизмов. Но в системах управления, в которых роль координат играют самые разнообразные физические величины (блок котел — турбина — генератор описывается таким набором координат, как давление, температура пара, скорость вращения вала генератора, напряжение на шинах, косинус и т. п.), понятие степеней свободы становится, конечно, возможным формально, но уже искусственным, трудно интерпретируемым физически, и вопрос об их числе зачастую может задаваться в качестве своеобразной головоломки. Все же первые исследования подобных систем делались крупными механиками, математиками и их учениками, и привычные понятия долгое время культивировались в трудах по теории управления.

С расширением круга специалистов, вовлекаемых в сферу управления, потребность в понятиях степеней свободы и лагранжевых обобщенных координатах уменьшалась, а иногда их целесообразность подвергалась сомнениям. Так, у термодинамиков есть свое понятие о степенях свободы, и в БСЭ отмечается, что

термодинамические и механические степени свободы не следует смешивать. Заметим также, что число степеней свободы и лаг-ранжевых координат недостаточно для полного задания динамического состояния системы (нужно задавать еще производные отчэтих координат в фиксированный момент времени). В современных работах исследователи всё чаще отказываются от использования понятий степеней свободы и все шире используют понятия переменных состояния и пространства состояний [83, 87, 104].

Переменными состояния динамической системы называют такие независимые переменные, набор которых достаточен для полного математического описания состояния системы в динамике. Это означает, что по заданным значениям всех переменных состояния в некоторый фиксированный момент времени по заданным значениям воздействий во все последующие моменты и по уравнениям системы можно определить значения всех переменных состояния в любой последующий момент времени Уравнения системы в переменных состояния записывают в виде

где функции — непрерывные, удовлетворяющие условиям Липшица; — управляющие; — возмущающие воздействия.

Число переменных состояния обычно больше числа управляемых величин. Напрашивается такой выбор переменных состояния, чтобы часть их совпала с управляемыми величинами. Так обычно и делают, хотя это удается не всегда. В тех случаях, когда это не удается, можно с целью упрощения и единообразия математического описания ввести «абстрактные» переменные состояния, позволяющие получить уравнения вида (2-1), но тогда задача будет иметь практический смысл лишь в том случае, когда управляемые величины могут быть выражены как функции переменных состояния. Тогда к уравнениям (2-1) добавляются уравнения