Многосвязные (многомерные) звенья и системы.

Звено может иметь несколько входов и выходов. Так, рассмотренный в § 2-3 двигатель постоянного тока можно трактовать как звено, на которое действуют нагрузка (возмущение) и напряжение и (управление), т. е. как звено с двумя входами. Синхронный генератор, у которого одновременно регулируются частота и напряжение, является звеном с двумя выходами. В силу физических законов некоторые входные и выходные величины часто связаны: один вход может изменить все или несколько выходов. Система (или звено) с несколькими связанными через систему регулируемыми величинами называется многосвязной. При этом число связей принимается равным числу регулируемых величин (а не вообще числу координат).

Пусть число регулируемых величин равно число управлений I, число возмущений . Уравнение такой -связной системы можно привести к виду

где - полиномы. Если в какое-либо уравнение входит управлений возмущений то правую часть можно либо записать в виде либо сохранить запись в таком виде, как указано

в (2-44), положив все коэффициенты для которых и все для которых равными нулю. Иными словами, в (2-44) считается

Чтобы по заданному набору переменных можно было однозначно подобрать обеспечивающие этот набор управления число I управляющих воздействий должно быть не меньше числа уравнений, т. е. не меньше иначе уравнения, рассматриваемые относительно неизвестных переменных могут оказаться несовместными. Число I может быть, однако, больше тогда имеется возможность налагать на дополнительные условия, например оптимизировать управления по дополнительным критериям. В данной книге рассматриваются системы, у которых поэтому формулу (2-44) можно также записать в виде

положив при при

Совокупности переменных можно представить как векторы и записать уравнения (2-44) более компактно в матричной форме

где А, В и С — операторные матрицы, а — матрицы-столбцы:

Лапласово изображение уравнения (2-45) при нулевых начальных условиях

Умножая (2-47) слева на обратную матрицу получаем:

Матрицы

где — присоединенная матрица для — алгебраические дополнения элементов называют передаточными матрицами системы по управлению и возмущению соответственно. Их элементы — передаточные функции для различных координат по различным управлениям «у или возмущениям

Записав уравнения в форме, где по теореме Крамера найдем решение уравнений для переменной

Дифференциальное уравнение относительно

Характеристический полином для всех переменных одинаков, правые же части уравнений для разных переменных отличаются друг от друга.

Матрицы, элементами которых будут весовые или переходные функции, называются соответственно весовой или переходной Н матрицами. Если все воздействия к системе прилагаются одновременно в момент уравнение (2-45) можно записать в виде

где — момент приложения воздействий, причем при

Весовая и передаточная матрицы связаны соотношениями

Вторая из этих формул выражает обратное преобразование Римана—Меллина.

Пример. Дан двухсвязный объект регулирования, характеризующийся регулируемыми координатами тремя управляющими и одним возмущающим воздействиями. Его уравнения

где — операторы. Операторные матрицы

Алгебраические дополнения элементов

Присоединенная матрица

Обратная матрица

Передаточная матрица по управлению

Передаточная матрица по возмущению

Выписывая элементы этих матриц, получаем выражения для передаточных функций по управлению

и по возмущению

Система, таким образом, характеризуется восемью передаточными функциями: шестью по управлению и двумя по возмущению.