Консервативная система.

Уравнение свободных колебаний линейной системы, в которой нет сил сопротивления движению, вызывающих рассеяние энергии, можно привести к виду

В механической системе наличие члена х, отражающего силу инерции, обусловлено массой. Член х отражает позиционную силу, пропорциональную перемещению. Таковы, например, силы, развиваемые пружинами. Для этого случая уравнения (5-7) имеют вид:

Уравнение фазовой траектории

приводится к уравнению с разделяющимися переменными

и легко интегрируется в квадратурах

где произвольная постоянная зависит от начальных условий:

Уравнение (5-14) приводится к каноническому уравнению эллипса

полуоси которого

Фазовые траектории, представляющие собой семейство вложенных друг в друга эллипсов, показаны на рис. 5-5.

Движение на фазовой плоскости по эллипсу соответствует незатухающему колебательному движению, представляемому решением уравнений (5-13) при начальных условиях

Начало координат представляет собой особую точку, не принадлежащую ни одной из траекторий, — так называемую точку

типа центра. Точка равновесия типа центра устойчива по Ляпунову. Действительно, если требуется, чтобы движение не вышло из сферы заданного радиуса то достаточно и всегда можно выбрать сферу радиуса X внутри эллипса, большая полуось которого равна

Рис. 5-5.

Рис. 5-6.

Система с отрицательной позиционной силой. Линеаризованное уравнение системы с отрицательной позиционной (опрокидывающей) силой имеет вид:

Обозначая получаем уравнение фазовой траектории

Интегрируя, находим:

Это — уравнение гипербол с асимптотами

(рис. 5-6). Начало координат — особая точка типа седла, соответствующая неустойчивому равновесию.

Точка седла является своеобразным центром притяжения для траекторий, пока они идут во втором и четвертом квадрантах, и становится для них центром отталкивания в первом и третьем квадрантах. Точка седла принадлежит только четырем прямолинейным траекториям — полупрямым