6-6. СИСТЕМЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ ВЕСЬМА БОЛЬШИЕ УСИЛЕНИЯ

При определенных условиях подключение гибких обратных связей деформирует амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы так, что она приобретает «клювообразную» форму (рис. 6-15). При малых коэффициентах усиления К «клюв» не доходит до критической точки и замкнутая система устойчива (рис. 6-15,а). Затем при увеличении К критическая точка попадает внутрь клюва, и устойчивость теряется (рис. 6-15, б).

Рис. 6-15.

При дальнейшем увеличении К клюв отодвигается влево, и система снова становится устойчивой, причем теоретически устойчивость сохраняется при беспредельном увеличении К. (рис. 6-15,в). Если бы в системе не присутствовали малые неучитываемые параметры, под влиянием которых характеристика делает ряд малых витков, вокруг начала координат (рис. 6-15, г), беспредельное увеличение К не нарушало бы устойчивости, но при росте К увеличиваются радиусы-векторы ветков и критическая точка в конечном итоге попадает внутрь Контура №

Рассмотрим одноконтурную систему (рис. 6-16) из статических звеньев первого порядка, причем встречно-параллельно

звеньям подключено стабилизирующее звено с передаточной функцией

Характеристическое уравнение замкнутой системы при этом будет

где К — коэффициент, передачи части звеньев, охваченных гибкой обратнойсвязью:

— общий коэффициент передачи разомкнутой системы:

Рис. 6-16.

Разделим уравнение (6-17) на К и обозначим

тогда

или

где — полиномы.

При беспредельном увеличении К значение стремится к нулю. Получается задача о влиянии на устойчивость линейно входящего в уравнение малого параметра. Замкнутая система будет устойчива при достаточно малом (достаточно большой К), если выполнены следующие три условия:

1. Вырожденное уравнение

удовлетворяет условиям устойчивости.

2. Разность степеней полиномов не больше 2, т. е.

3. Выполняется одно из следующих неравенств:

а) если число, звеньев, охваченных гибкой обратной связью , то

где — коэффициенты при старших членах полиномов соответственно;

где и — коэффициенты при вторых по старшинству членах полиномов соответственно.

Доказательство. Приведем уравнение

где — малый параметр, к виду

Пусть

Выделим целочисленную часть дроби

где

При беспредельном уменьшении корней уходят в бесконечность, . При очень больших значениях можно пренебречь всеми членами, кроме старшего, и считать, что определяется из уравнения

т. е.

Отметим три характерных случая.

1. Порядок числителя функции на единицу выше порядка знаменателя и При достаточно малых

т. е. при корень уходит в бесконечность по отрицательной вещественной оси. Следовательно, при весьма малых система устойчива, если ее корни, определяемые вырожденным уравнением левые и, кроме того, еслн

2. Порядок числителя на два выше, чем порядок знаменателя; при этом имеет два чисто мнимых корня. Вопрос об устойчивости не ясен; чтобы его решить, нельзя при переходе к очень большим отбрасывать член с как это было сделано выше. Положим Тогда

Последнее равенство написано в соответствии с теоремой Вьета — сумма корней равна взятому с обратным знаком коэффициенту при члене уравнения, следующему за старшим:

Таким образом, система устойчива, если устойчиво решение, соответствующее вырожденному уравнению и, кроме того, соблюдается равенство

3. Разность порядков числителя и знаменателя Имеем корней, образующих в плоскости симметричную -конечную звезду:

Часть корней неизбежно уходит в бесконечность в правой полуплоскости и система при достаточно малых теряет устойчивость, даже если вырожден ное уравнение имеет левые корни. В этом случае отбрасывать малые параметры при исследовании устойчивости нельзя.

Более детально влияние малых параметров, а также условия устойчивости при больших К для различных схем рассмотрены в [37—39],