Построение D-разбиения в плоскости одного комплексного параметра.

Для исследования влияния на устойчивость только одного параметра А примем сначала, что этот параметр может принимать не только вещественные, но и комплексные значения.

Пусть рассматриваемый параметр входит в уравнение линейно:

Подставляя получаем:

откуда

Непрерывно увеличивая от до построим по (6-7) в плоскости х, у кривую D-разбиения. Левая полуплоскость 5 при этом отображается на левую сторону кривой, поэтому, отметив на кривой направление, соответствующее возрастанию , заштрихуем однократно левую относительно этого направления сторону кривой.

После наложения штриховки на кривые обычно еще нет возможности выделить область устойчивости, а можно лишь установить, какая из полученных областей имеет наибольшее

количество левых корней, т. е. является претендентом на область устойчивости. После этого требуется дополнительное исследование распределения корней внутри одной из нанесенных областей или на их границе. При этом достаточно найти распределение корней в произвольной одной точке плоскости параметров — во всех остальных точках распределение корней позволит установить штриховка. Поясним сказанное на примере.

Рис. 6-3.

Пример. Дано уравнение

Подставляем и находим А:

где

Перед построением D-разбнения обычно бывает полезно построить вспомогательные кривые для х и у по последним уравнениям. Для данного примера вспомогательные кривые показаны на рис. 6-3, а, а на рис. изображена кривая

Претендентом на область устойчивости является область I. Для определения расположения корней рассмотрим , т. е. начало координат — точку на границе области . В этой точке

Уравнение имеет два левых корня и один нулевой:

При переходе с контура кривой в заштрихованную область I нулевой корень также перейдет в левую полуплоскость и все три корня станут левыми. Область таким образом, есть область устойчивости.

Дальнейший ход решения задачи зависит от того, какой физический смысл вложен в значение параметра А. Если задано, что этот параметр — вещественный, то внутри найденной области выделяется отрезок вещественной оси (отрезок устойчивости), и записывается условие устойчивости в виде

Так как в точке В имеем то

В некоторых задачах комплексный параметр также может иметь физический смысл. Так, если дано уравнение разомкнутой системы

то характеристическое уравнение системы, замкнутой единичной отрицательной обратной связью, будет

Исследуем вместо него более общее уравнение

Комплексный параметр при

т. е. он представляет собой кривую Найквиста для разомкнутой системы. Уравнение (6-9) совпадает с уравнением (6-8), когда Чтобы замкнутая; система была устойчивой, точка должна лежать поэтому в области устойчивости. На рис. 6-4 показана характеристика с нанесенной штриховкой по правилу Неймарка. На кривой имеем пару чистомнимых корней, остальные же корни зависят от полинома Если разомкнутая система устойчива, то все. остальные корни левые и точка будет лежать в области устойчивости, если она расположена вне контура характеристики что соответствует доказанному ранее другим путем критерию Найквиста.