Степень устойчивости.

Из сказанного ранее видно, что для оценки времени регулирования большое значение имеет расстояние от мнимой оси до ближайшего полюса. Это расстояние, или вещественная часть корня, ближайшего к мнимой оси, называется степенью устойчивости. Первая приближенная оценка

качества по степени устойчивости, по-видимому, рассматривалась в неопубликованном докладе И. Н. Вознесенского, ссылка на который дана в [28]. Независимо этот вопрос был рассмотрен Я. 3. Цыпкиным и П. В. Бромбергом [67].

Сместим в плоскости мнимую ось влево на величину степени устойчивости . В новой системе координат аргумент характеристического уравнения станет равным Подставляя в уравнение

получим новое, так называемое смещенное уравнение

коэффициенты которого можно вычислить через коэффициенты исходного уравнения, разложив в степенной ряд:

откуда коэффициент при

Так как теперь мнимая ось проходит через полюс (или пару комплексных полюсов), система находится на границе устойчивости, а старший определитель Гурвица смещенной системы обращается в нуль:

Если то на мнимую ось смещенного уравнения попадает пара чисто мнимых корней, т. е. в исходной системе они были ближайшими к мнимой оси. Если же то смещенное уравнение имеет нулевой корень, а в исходном уравнении ближайший к мнимой оси был вещественный корень.

Определение из уравнения не проще, чем вычисление корней исходного уравнения, и смещенное уравнение можно использовать:

1. Для определения условия, обеспечивающего степень устойчивости не меньше заданной. Заданную степень устойчивости можно примерно определить через желаемое время регулирования из полученных выше в (7-20), (7-21) оценок для

2. Для построения в плоскости параметров областей, в которых степень устойчивости будет не меньше заданной. Дляэток Цели удобно использовать метод -разбиения.

Проиллюстрируем применение этого метода на примере уравнения Вышнеградского

Подставив в уравнение общее выражение для корня получим:

Приравнивая порознь нулю вещественную и мнимую части, получаем для

и для

По этим формулам можно построить различные характеристики распределения полюсов. Рассмотрим некоторые из них. Граница области устойчивости. Полагая получаем:

т. е. Это — уже известное уравнение гиперболы Вышнеградского (кривая 1 на рис. 7-9).

Граница области апериодичности. Приняв из (7-28) получим искомую границу в параметрической форме

(кривые 2 и 3 на рис. 7-9). Поскольку на кривой отлична от нуля, а на кривых 2 и то области II и III между кривыми 2, 3, с одной стороны, и кривой с другой, являются областями комплексных, а область II — вещественных корней. Вышнеградским уравнение этой границы было получено в форме

Кривые равных вещественных частей корней. Полагая в и изменяя , получаем кривые равных значений вещественной части комплексных корней. Индексы на кривых указывают те значения а, для которых построены кривые. Кривые, вычерченные сплошными линиями в области I, соответствуют такому расположению, когда ближайшими к мнимой оси оказываются комплексные корни. Их продолжения штриховыми линиями в области III соответствуют другому расположению, когда мнимой оси ближе вещественный корень. На границе областей и III все три корня равно удалены от мнимой оси, т. е. их

вещественные части равны. Уравнение границы областей и III можно получить, положив . Тогда по формуле Вьета или откуда

Подставив найденное значение в (7-28), получим уравнение кривой 4 в параметрической форме:

или

Вышнеградский показал также, что область III, ограниченная кривыми 3 и 4, является областью монотонности для решений однородного дифференциального уравнения

Рис. 7-9. (см. скан)

Из (7-29) при получаются прямые, соответствующие заданному вещественному корню. В областях II и III они соответствуют случаю, когда ближайшим к мнимой оси будет вещественный корень, и показаны сплошными прямыми линиями. Их продолжения в области 1 соответствуют обратному расположению.

Таким образом, сплошные линии на рис. 7-9 являются линиями равной степени устойчивости а, а их штриховые продолжения и штриховые прямые — линиями равного наибольшего удаления корней от мнимой оси.

Кривые равного значения модуля. Модуль комплексных корней равен Заменив в (7-28) выражение через получим:

Исключив отсюда 2а, найдем уравнение прямой для линии равных значений модулей комплексных корней:

Полагая в уравнениях получаем уравнения прямых

или

которые представляют собой кривые равных значений вещественных корней. Нетрудно видеть, что прямые (7-32) и (7-33) по существу отличаются только индексами. Заменив в (7-33) величину Н на получим уравнение

совпадающее с (7-32).

На рис. 7-10 построены следующие прямые равных значений модулей:

в области I комплексных корней ниже и правее биссектрисы построены сплошными линиями прямые равного модуля комплексной пары корней, индексы на которых равны значениям

в области выше биссектрисы нанесены сплошными линиями прямые равных модулей вещественных корней, индексы на которых равны Я для вещественного корня;

в области II вещественных корней в каждой точке должны пересекаться три прямые, соответствующие трем вещественным корням, но, чтобы не затемнять рисунка, на них нанесены только

две — продолжение сплошных линий из области I, индексы на которых следует пересчитать по формуле (индексы на прямых не надписаны), и штриховые линии, построенные для другого вещественного корня, на которых выписаны индексы, соответствующие значению модуля этого корня.

Рис. 7-10. (см. скан)

Значение модуля третьего корня можно вычислить, разделив единицу на произведение индексов двух нанесенных на график прямых, проходящих через рассматриваемую точку.

Точно так же легко находятся модули остальных корней; ниже биссектрисы модуль вещественного корня равен где — индекс сплошной прямой, проходящей через рассматриваемую точку, а выше биссектрисы квадрат модуля комплексной пары корней равен

На рис. 7-10 в области I показаны также прерывистой линией кривые равной колебательности Для построения этих кривых необходимо подставить со в (7-28), а затем, задаваясь (индекс на кривой), изменять а.