2-2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Если уравнения элементов (или некоторых из них) нелинейны, то их исследование, решение и даже такая операция, как исключение промежуточных переменных, сильно затрудняются. Поэтому первый шаг в исследовании нелинейных систем часто состоит в построении их приближенной линейной модели, т. е. в линеаризации исходных уравнений, если таковая возможна.

Существует несколько способов линеаризации; применение того или иного из них зависит от особенностей исследуемого свойства или процесса.

Пусть статическая характеристика элемента имеет вид, показанный на рис. 2-1, а. Линеаризация сводится к замене криволинейной характеристики на некотором интервале изменения х, который будем называть рабочим интервалом, отрезком прямой. Помимо рабочего интервала, исследователя обычно интересует еще рабочая точка на характеристике, например точка равновесия, из которого начинается движение (начальное равновесное состояние), или точка, к которой стремится процесс (конечное равновесное состояние). Рабочая точка должна быть общей для исходной характеристики и для аппроксимирующей прямой.

Рис. 2-1.

Исследование системы начинается обычно с анализа устойчивости равновесия в рабочей точке. Для этого исследуется поведение системы при малых отклонениях от рабочей точки, а отрезок нелинейной характеристики в рабочем интервале заменяется отрезком касательной к кривой в рабочей точке. Аналитически уравнение линейного приближения характеристики получают, разлагая функцию в окрестности рабочей точки в ряд Тейлора и оставляя в разложении только линейные члены:

которые можно разбить на два уравнения

первое связывает значения переменных в рабочей точке, второе — отклонения этих переменных от рабочей точки. Коэффициент при — постоянная, равная угловому коэффициенту касательной в рабочей точке.

А. М. Ляпунов показал, что при такой линеаризации устойчивость равновесия исходной нелинейной системы можно строго исследовать по ее линейному приближению, и этот метод исследования устойчивости «в малом» называют также первым методом Ляпунова. Кроме устойчивости, довольно часто на линейной модели можно исследовать и динамические процессы при не очень больших отклонениях, и данный метод линеаризации является основным в теории линейных систем.

При больших отклонениях можно повысить точность приближения, если заменить отрезки кривой вправо и влево от рабочей точки отрезками прямых (как показано на рис. 2-1, б),

найденных, например, по методу наименьших квадратов, но уравнения системы в целом (на совокупности интервалов) при этом остаются нелинейными.

Рассмотрим линеаризацию уравнений, записанных в нормальной форме (2-1). Пусть функции — аналитические, имеющие все непрерывные производные по всем аргументам. Тогда они могут быть разложены в ряды Тейлора. Если система автономна, т. е. время не входит в функции явно, и стационарна, т. е. коэффициенты не зависят от времени, то

где

— значения переменных в рабочей точке, находимые из уравнений статики

Подставляя полученное разложение функции в (2-1) и исключая далее уравнение статики (2-3), получаем уравнение динамики для отклонений переменных

где — постоянные коэффициенты.

В левой части последнего уравнения под знаком производной переменная заменена ее приращением потому, что

Так как в уравнения динамики входят только отклонения, но не сами переменные, в дальнейшем, если это не оговаривается особо, для упрощения записи символ А приращения, будем опускать и считать, что буквами х, у, z, и обозначаются отклонения переменных от их установившихся значений.

Линеаризация уравнений при поэлементном описании или при описании посредством уравнений относительно управляемых величин осуществляется аналогичным способом. Отметим некоторые часто встречающиеся особенности.

При линеаризации произведений, частных от деления переменных х, у и некоторых других функций удобно вместо нахождения производных подставлять в эти функции выражения и затем, выполняя операции, указываемые этими функциями, отбрасывать в результате члены, содержащие малые высших порядков, например

Если функция переменных является множителем при производной, то

так как в коэффициенте при можно пренебречь слагаемыми, содержащими отклонения, как малыми в сравнении с постоянной составляющей.

В дальнейшем в целях упрощения записи линейных уравнений для обозначения операции дифференцирования используется символ а для обозначения интегрирования Так,

Линейные уравнения при поэлементной форме описания будут иметь вид:

где — полиномы от вида

— число элементов.

Уравнение системы относительно единственной регулируемой величины, изучаемое в дальнейшем наиболее детально, имеет вид:

где

— порядок уравнения.

При наличии многих переменных может быть использована также наиболее компактная запись в матричной форме.

Для поэлементного описания

где - матрица

При описании через регулируемые величины

где — матрицы соответственно и I — количества соответственно регулируемых величин, управлений и возмущений).

При нормальной форме записи

где А, В и С — матрицы коэффициентов.

В дальнейшем в данном томе будут рассматриваться системы, описываемые обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями (с постоянными коэффициентами) при известных детерминированных воздействиях.