3-3. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК

Рассмотрим сначала некоторую линейную систему, на которую воздействует входная переменная и на выходе которой возникает процесс Передаточная функция системы по отношению к этим переменным равна Полное решение дифференциального уравнения систем равно сумме частного решения (вынужденная составляющая) и решения однородного уравнения (свободная составляющая). Частное решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде

где — весовая функция; момент приложения воздействия . В устойчивых системах решение однородного уравнения с течением времени асимптотически затухает и общее решение стремится к частному.

Установившимся движением называют то предельное движение, которое определяется частным решением в случае, когда воздействие было приложено к системе бесконечно давно и свободная составляющая полностью затухла. Для нахождения установившегося движения положим в Тогда

Пусть система предназначена для воспроизведения входной функции т. е. требуется, чтобы в идеальном случае имело место равенство Ошибкой воспроизведения называется величина

Предположим, что разложима в ряд Тейлора:

Тогда (3-45) приводится к виду

В устойчивой системе интегралы в последней формуле — сходящиеся. В соответствии с определением преобразования Лапласа , следовательно,

поэтому

Из (3-46) и последнего выражения следует:

Величины

называются коэффициентами ошибок. При отыскании можно избежать вычисления производных расположив члены числителя и знаменателя по возрастающим степеням и выполнив деление по правилам алгебры. Тогда

Коэффициенты ошибок связаны со значениями соотношениями

Рассмотрим систему воспроизведения воздействия по схеме рис. 2-9. Уравнение объекта

Уравнение регулятора

Уравнение ошибки

Изображение ошибки

где

Введем нормированные передаточные функции регулятора объекта , где — соответственно коэффициенты передачи регулятора и объекта; — их нормированные передаточные функции с единичными коэффициентами передачи; — порядки астатизма регулятора и объекта. Из (3-53) после введения этих обозначений получим:

где

Первое слагаемое с множителем соответствует собственной ошибке воспроизведения, второе с множителем — ошибке от нагрузки.

В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим два вида воздействий — единичное постоянное

и воздействие, меняющееся с постоянной скоростью

При постоянных воздействиях и установившиеся ошибки будут:

Из этих выражений следует, что при постоянных воздействиях:

а) если объект и регулятор статические то

т. е. обе составляющие установившейся ошибки постоянны;

б) если объект статический а регулятор астатический

т. e. обе установившиеся составляющие отсутствуют;

в) если объект астатический а регулятор статический то

т. е. собственная установившаяся ошибка воспроизведения отсутствует, а установившаяся ошибка от возмущающего воздействия постоянна и обратно пропорциональна коэффициенту передачи регулятора

При воздействиях, меняющихся с постоянной скоростью и:

а) если и регулятор и объект статические, то

т. e. обе составляющие ошибки неограниченно возрастают с течением времени по абсолютной величине;

б) если регулятор статический, а объект астатический, то

т. е. собственная установившаяся ошибка воспроизведения, называемая в данном случае скоростной ошибкой, постоянна, пропорциональна скорости и обратно пропорциональна коэффициенту К, называемому в этом случае коэффициентом добротности и имеющему размерность

в) если регулятор астатический, а объект статический, то

т. е. обе скоростные ошибки постоянны.

Вообще нетрудно убедиться, что если суммарный порядок астатизма системы равен порядку высшей ненулевой производной функции то система имеет постоянную установившуюся ошибку воспроизведения

Если же порядок астатизма системы выше собственная ошибка воспроизведения обращается в нуль. Этого можно в принципе добиться, включив последовательно с регулятором интегрирующих звеньев, т. е. повысив порядок

астатизма системы до Однако при этом обеспечение устойчивости системы настолько затрудняется, что практически порядок астатизма выбирается равным нулю или единице, а астатизм второго порядка используется крайне редко.