§ 6.7. Стандартные численные методы интегрирования

Многие важные задачи анализа и синтеза автоматических систем решаются нахождением кривых переходных процессов (выявление интервала устойчивого функционирования асимптотически неустойчивой системы, оптимальный синтез). Построить переходный процесс — это значит проинтегрировать дифференциальное уравнение и получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям и возмущающим воздействиям. Интегрирование может быть осуществлено различными методами и выполняться с помощью аналоговых или цифровых ЭВМ. Применение аналоговых ЭВМ позволяет интегрировать систему в реальном времени, хотя точность может быть недостаточной. При использовании цифровых ЭВМ интегрирование осуществляется стандартными численными методами. К таким методам относятся методы Эйлера, Рунге—Кутта, Адамса, Хемминга, Гира.

Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение

Получить точное решение уравнения аналитическими методами удается весьма редко, поэтому ставится задача приблизить точное решение с помощью вычислительных (численных) методов.

Используются два обширных класса вычислительных методов. К первому относятся одношаговые (одноступенчатые) методы. В этих методах для нахождения следующей точки кривой требуется информация только в одной предыдущей точке

К этому классу относится решение с помощью разложения в ряд Тейлора, метод Эйлера, Эйлера—Коши, Рунге—Кутта.

Простейшим является метод Эйлера, основанный на вычислении точки посредством прямолинейной экстраполяции из предыдущей точки Если — гладкое решение уравнения (6.29), то оно имеет разложение в ряд Тейлора. Метод Эйлера можно рассматривать как приближенное использование

двух членов ряда Тейлора. Наклон решений в начальной точке определяется по формуле

Приближение ххкх находится с помощью двух первых членов ряда:

Полагая находим Этот процесс можно продолжить по формуле

Погрешность метода имеет порядок так как члены ряда Тейлора, содержащие во второй и более высоких степенях, отбрасываются.

Точность метода можно увеличить на порядок, если использовать среднее значение производной в начале и конце интервала шага. Геометрически это означает, что наклон касательной на середине шага меняется. Такой усовершенствованный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени Порядок ошибки составляет

Расчетная формула имеет вид

где

Таким образом, простой и усовершенствованный методы Эйлера можно рассматривать как приближение, использующее два и три члена ряда Тейлора соответственно.

Если использовать большее число членов ряда Тейлора

то можно получить методы более высокого порядка точности.

Использование первых пяти членов ряда Тейлора дает классический метод Рунге—Кутта четвертого порядка точности

где

В методе Рунге—Кутта четвертого порядка не требуется вычислений производных, функция вычисляется четыре раза для продвижения на один шаг вперед. Так как формулы описывают метод четвертого порядка точности, то порядок погрешности метода составляет Для выбора шага может быть использована оценка которая не должна превышать нескольких сотых. Имеются модификации формул Рунге—Кутта. Одна из них, предложенная Мерсоном, позволяет автоматически выбирать шаг, обеспечивая заданную точность. Используемые формулы Рунге—Кутта—Мерсона имеют вид

где

Погрешность по этому методу оценивается по формуле

где — заданная точность.

Если правая часть превышает заданную погрешность более чем в пять раз, шаг уменьшается в два раза, если правая часть меньше чем 5/32 заданной погрешности, то шаг удваивается. Автоматическое изменение шага, по утверждению Мерсона, на 20% ускоряет процесс по сравнению со стандартной процедурой Рунге—Кутта с постоянным шагом. Экономия времени достигается за счет того, что при стандартном методе шаг выбирается слишком мальм и время счета увеличивается.

Можно построить формулы Рунге—Кутта высших степеней, при этом основная часть расчетов приходится на счет правой части уравнения. Формула степени точности требует -кратного вычисления правой части. Это может привести к значительному

увеличению затрат машинного времени. С другой стороны, увеличение порядка метода допускает использование большего шага Методы Рунге—Кутта легко программируются.

Величину шага можно изменить на любом этапе вычислений. Метод является «самостартующим», первые точки решения вычисляются естественно, как и все остальные.

Перечисленные методы могут быть как явными, так и неявными. Явными методы называются по той причине, что искомое значение на шаге выражается явно через значения полученные на предыдущих шагах. Например, переходные процессы для явного метода Эйлера рассчитывают по формуле

Неявные методы — это такие, в которых искомое значение определяется неявно, т. е. через значения на том же шаге. Для неявного метода формула Эйлера имеет вид

Важно, что в этом методе можно брать любой шаг, меняя лишь точность построения процессов. Метод устойчив при любых значениях

Вычисление в неявных методах сложнее, чем в явных, так как приходится решать систему алгебраических уравнений. Так как неявные методы устойчивы при любом то при интегрировании определенных классов систем общая трудоемкость может быть меньше.

Ко второму классу относятся многошаговые (многоступенчатые) методы. Их отличительная черта — использование информации при вычислении следующей точки не только в точке но и в предыдущих точках. Многошаговые методы послужили базой для создания методов с прогнозом и коррекцией. Как следует из названия, вначале предсказывается значение (прогноз), а затем оно каким-либо способом исправляется (коррекция). Для корректировки можно использовать ту же самую формулу. Итерационный процесс повторяется до тех пор, пока не достигается заданная точность. Однако, как правило, используются две формулы, называемые соответственно формулами прогноза и коррекции. Так как многошаговые методы не обладают «стартовым» свойством, то начинать решение надо с помощью одношаговых методов.

Чаще всего для начала решения используется метод Рунге— Кутта. В настоящее время для интегрирования систем широко используются методы Адамса—Башфорта и Хэмминга.

Общая формула прогноза для методов четвертого порядка точности имеет вид

где

Формула прогноза типа Адамса—Башфорта может быть получена интегрированием обратной интерполяционной формулы Ньютона [17, 18].

Прогноз по методу Адамса—Башфорта осуществляется по формуле

Коррекция выполняется по формуле

Последние члены в обеих формулах в действительности в вычислениях не используются и служат для оценки ошибок дискретизации (усечения).

В распространенном в настоящее время методе Хемминга используются следующие формулы прогноза и коррекции: прогноз

коррекция

Для получения требуемой точности формулы прогноза и коррекции должны быть одного порядка. Особенность методов с прогнозом и коррекцией состоит в том, что они позволяют находить разность между прогнозируемым и скорректированным значениями и устранять ошибку. Многошаговые методы более экономичны в смысле затрат машинного времени, так как используют информацию о ранее вычисленных точках. Однако при любом изменении величины шага h приходится временно возвращаться к одношаговым методам. Методы, разработанные в самое последнее время, позволяют менять порядок точности и шаг. В качестве корректирующей часто используется неявная формула, в которую подставляются данные прогноза.