§ 4.5. Корневые методы оценки качества регулирования

Известно, что характер переходного процесса в системе определяют по ее реакции на единичное ступенчатое воздействие. Переходная характеристика системы может быть вычислена с помощью обратного преобразования Лапласа (по формулам разложения Хевисайда):

Если не имеет кратных корней, то

где — корни характеристического полинома замкнутой системы — первая производная характеристического полинома по s при

Из (4.15) видно, что на характер переходного процесса влияют и числитель и знаменатель передаточной функции замкнутой системы . Если числитель не имеет нулей, т. е. представляет собой постоянную величину, то характер переходных процессов можно оценить по ее полюсам, т. е. корням характеристического уравнения замкнутой САУ .

Для приближенной оценки качества переходного процесса в системе нужно на плоскости корней s выделить область, в которой располагаются корни ее характеристического уравнения. Чаще всего эту область представляют трапецией (рис. 4.7). Корни характеристического уравнения располагаются внутри этой трапеции на ее сторонах и основаниях хотя бы по одному корню, а вне ее — ни одного. Для выделения этой области на плоскости корней вычисляют параметры: степень устойчивости колебательность . и значение вещественной части максимально удаленного корня от мнимой оси.

Рис. 4.7

Понятие степени устойчивости введено Я. 3. Цыпкиным и П. В. Бромбергом. Степенью устойчивости называют расстояние от мнимой оси до ближайшего корня или ближайшей пары сопряженных комплексных корней. Степень устойчивости определяет ближайшее к мнимой оси основание, трапеции (рис. 4.7).

Пусть общее решение дифференциального уравнения системы

где — корни характеристического уравнения

Составляющая этого решения, определяемая степенью устойчивости, запишется в виде

для случая вещественных корней или

для случая, когда среди корней есть пара комплексно-сопряженных.

В большинстве случаев переходный процесс можно считать закончившимся тогда, когда затухнет составляющая переходного процесса, определяемая степенью устойчивости, т. е. порядок величины времени затухания процесса можно грубо оценить по наиболее медленно затухающей составляющей . В случае, когда ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, из (4.17) можно получить следующую зависимость: Если принять, например, то время переходного процесса . В том случае, когда ближайшей к мнимой оси является пара комплексных корней, из (4.18) можно найти верхнюю границу времени переходного процесса:

Можно поставить две задачи:

1. По заданным параметрам системы — коэффициентам — определить степень устойчивости системы (задача анализа степени устойчивости).

2. По заданной степени устойчивости определить значение варьируемых параметров системы (задача синтеза САУ по заданной степени устойчивости).

Воспользуемся методом, изложенным в [12]. Предлагается сместить мнимую ось влево на величину тогда один корень окажется на мнимой оси, а система — на границе устойчивости. Это соответствует обращению в нуль старшего определителя Гурвица: Это условие дает уравнение, по которому, задаваясь коэффициентами, можно определить или решить обратную задачу.

Пусть характеристическое уравнение системы

Введем новую переменную Подставив значение в уравнение получим новое смещенное уравнение:

где

Если в смещенном уравнении окажется то ближайшим к мнимой оси окажется нулевой корень, а если то пара сопряженных комплексных корней.

Условие границы устойчивости для системы, описанной уравнением (4.19), по критерию Гурвица при соблюдении всех остальных условий устойчивости Гурвица.

Колебательностью системы называют тангенс угла, образованного отрицательной вещественной полуосью и лучом из начала координат к корию, у которого отношение мнимой части к действительной максимально (рис. 4.7):

где Р — значение мнимой части корней а — действительная часть.

При известных параметрах системы можно определять значение колебательности (задача анализа колебательности) или решать обратную задачу — задачу синтеза САУ по заданной колебательности. Для этого в характеристическое уравнение системы вводится замена равноценная повороту мнимой оси на угол при этом пара сопряженных комплексных корней окажется на мнимой а фиктивная система — на границе устойчивости. Колебательность является оценкой переходного процесса сверху, при увеличении возрастает число колебаний за время регулирования

Рис. 4.8

и возрастает перерегулирование. Реальный переходный процесс может иметь значительно лучшее качество.

Запишем смещенное характеристическое уравнение:

где

В (4.22) часть коэффициентов — комплексные числа.

Так как фиктивная система находится на границе устойчивости, то (4.22) имеет пару сопряженных мнимых корней

Если в (4.22) подставить вместо . И разделить смещенный характеристический полином на мнимую и действительную части, то их можно поочередно приравнять нулю, получив при этом систему двух уравнений

Исключив из этой системы получим искомое значение

Эту задачу можно решать, используя свойства корней алгебраических уравнений по формулам Виета.

Впервые анализ распределения корней в области устойчивости на примере САУ третьего порядка выполнил И. А. Вышнеградский.

Оценка прямых показателей качества переходного процесса — времени регулирования и перерегулирования (см. § 4.3) — по известным для любого распределения корней и любых начальных условий пока не найдена. Но для определенных классов распределения корней и начальных условий можно построить две кривые: мажоранту и миноранту, которые ограничивают кривую переходного процесса сверху и снизу:

где — миноранта, — мажоранта.

Методы построения мажорант и минорант разработаны С. А. Чаплыгиным, Н. Н. Лузиным, А. А. Фельдбаумом [11] и уточнены А. М. Рубинчиком [8].

Приведем некоторые формулы для расчета мажорант и минорант без доказательства. Для случая вещественных корней и нулевых начальных условий мажоранта и миноранта описываются соответственно уравнениями

Перерегулирование для этого класса корней отсутствует. На рис. 4.8 показаны кривые и для разных степеней уравнения, причем — относительное время. Чем выше тем грубее оценка. Если учесть величину , то можно сблизить миноранту и мажоранту [2, 11).

Для систем, имеющих среди корней пару комплексно-сопряженных, при тех же начальных условиях мажоранта описывается уравнением (4.25), а миноранта

При этом перерегулирование

Если то что проиллюстрировано на рис. 4.9.

Рис. 4.9

Используя мажоранту и миноранту, можно оценить время регулирования переходного процесса:

где — время регулирования по миноранте; — время регулирования по мажоранте.