Глава 6. МАШИННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 6.1. Математические модели автоматических систем и особенности реализации их на ЭВМ

Возможности современной вычислительной техники позволяют значительно ускорить сроки проектирования автоматических систем управления объектами различного назначения. Успех в решении задачи в значительной степени зависит от основных факторов: математической изученности управляемого объекта, т. е. от того, насколько адекватно составлено математическое описание функционирования объекта, эффективности прикладных методов теории автоматического управления, уровня развития вычислительных методов, наличия высококачественного программного обеспечения, от того, насколько успешно используется творческий потенциал исследователя-проектировщика. При этом решающий фактор остается за человеком, который может решать многие неформализованные задачи. Именно этот фактор стимулирует развитие диалогового проектирования.

Основа автоматизированного проектирования — математическое описание функционирования системы. В настоящее время преобладают и широко используются три способа математического описания автоматических систем: 1) метод передаточных функций и тесно связанные с ними частотные характеристики; 2) метод переменных состояния; 3) структурно-топологические методы.

Метод передаточных функций, по существу, представляет собой применение преобразования Лапласа и частотной теории для изучения качественного поведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Созданные для проектирования систем с одним входом и одним выходом передаточные функции и частотная теория до сих пор являются основными инженерными методами со сложившейся методологией. Непосредственное изучение исходных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями заменяется в этих методах исследованием алгебраических свойств некоторых функций, порождаемых системой дифференциальных уравнений. Например, критерий Михайлова и Найквиста основаны на изучении именно таких функций.

На разработку и усовершенствование (частотных методов были затрачены десятилетия; несмотря на «машинный век», они не утратили своего значения и не исчерпали всех возможностей. Многолетние исследования показали, что по глубине и степени завершенности частотные методы во многих случаях не имеют вполне эквивалентный замены, а модификация их применительно к ЭВМ позволяет получать весьма ценную информацию о проектируемой системе в сжатые сроки. В 70-е годы Г. Розенброком [19] был создан метод «размытых» частотных характеристик, предназначенный для автоматизированного проектирования систем с несколькими входами и выходами. Дальнейшее развитие метода было осуществлено В. В. Солодовниковым и его учениками [131.

В основе метода переменных состояния лежит представление дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, которое дополняется алгебраическими уравнениями, связывающими выходные переменные с переменными состояния

где А, В, С — матрицы коэффициентов размерности соответственно; u — вектор возмущающих воздействий; — число входов; — число выходов.

Математическим аппаратом метода переменных состояния (МПС) являются матричное исчисление и вычислительные методы линейной алгебры. Метод переменных состояния содействовал значительному развитию теории управления. На языке МПС выполнена большая часть работ по оптимальному управлению, фильтрации, оцениванию. В настоящее время в теории

автоматических систем управления наметилось плодотворное сочетание метода переменных состояния с частотными методами. Оба способа описания взаимосвязаны и дополняют друг друга.

Топологические методы опираются на использование методов теории графов. Они получают все большее распространение, однако эффективность их применения во многом зависит от принципиальных результатов, полученных в теории графов.

С точки зрения автоматизации проектирования систем управления с помощью топологических методов представляет интерес задача формирования передаточных функций по структурным схемам. Если структура системы выбрана, то, используя передаточные функции динамических звеньев и известные правила преобразования структурных схем, можно сравнительно легко составить программу получения передаточной функции разомкнутой или замкнутой системы при управляющих или возмущающих воздействиях. Программа нахождения. передаточной функции сводится к раскрытию скобок, приведению подобных членов и упорядочиванию коэффициентов по убывающим степеням полинома. Такая программа часто является основной при машинных исследованиях (анализ устойчивости, построение частотных характеристик, построение областей устойчивости, D-разбиение в плоскости параметров и т. д.). Автоматизация формирования передаточных функций позволяет вести параметрический синтез и анализировать различные структуры. Такие программы успешно применялись для построения передаточных функций сложных систем с перекрещивающимися обратными связями. Уязвимое место таких программ — частые случаи переполнения разрядной сетки ввиду плохой «обусловленности» полинома. Кроме того, существуют технические трудности при программировании, так как некоторые алгоритмические языки (АЛГОЛ ФОРТРАН) не приспособлены для обработки буквенно-символьной информации. Решение подобных задач стало эффективным на основе топологических методов. Так, использование методов теории графов в сочетании со структурными числами дает возможность получать передаточные функции по любой структуре на языке ФОРТРАН.

Метод переменных состояния ориентирован на вычислительные методы теории матриц. Если требуется выполнить анализ устойчивости по уравнениям переменных состояния (6.1), то традиционные способы требуют предварительного

приведения матрицы А к характеристическому уравнению

с последующим применением критериев устойчивости или корневых методов. Существующие критерии устойчивости (Рауса, Гурвица, Льенара—Шипара, Михайлова) могут применяться только непосредственно к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы. Методы локализации собственных чисел матрицы А (Гершгорина, Островского, Брауэра и др.) дают лишь достаточные условия и малопригодны для широкого использования.

Получение коэффициентов характеристического уравнения часто связано с серьезными трудностями вычислительного характера, несмотря на наличие стандартных программ, построенных на известных методах. Применительно к задачам машинного анализа и синтеза сложных автоматических систем многие методы не вполне подходят из-за чувствительности к «частным особенностям» матрицы или потери точности из-за роста погрешности вследствие накопления ошибок округления.

В последнее время были созданы способы определения всех собственных чисел матрицы А, не связанные с операцией вычисления коэффициентов характеристического уравнения. Они основаны на представлении матрицы А в виде произведения ортогональной и почти треугольной форм. Наибольшей универсальностью обладают и -алгоритмы. Сущность -алгоритма состоит в представлении исходной матрицы А в виде произведения двух матриц: ортогональной и верхней треугольной (нижней треугольной в случае -алгоритма). Предварительно матрица А преобразуется к форме Хассенберга Н, а -алгоритм всегда предполагает, что такое приведение выполнено. Матрица Н является верхней треугольной матрицей, но с наличием субдиагональных элементов. Например, матрица Хассенберга размерности (4 X 4) имеет вид

Процедура метода предусматривает построение матрицы, подобной матрице А, но имеющей клеточную треугольную структуру с диагональными блоками или и теми же

собственными числами, что и исходная матрица А. Приведение исходной матрицы А к матрице Хассенберга Н осуществляется для сокращения числа операций и экономии машинного времени. Различные способы (например, метод Хаусхолдера и метод Гивенса) приведения к матрице Н рассматриваются в работах по линейной алгебре.

В теоретическом отношении и -алгоритмы мало различаются. -алгоритмы эффективнее использовать, когда большие элементы матрицы сосредоточены в нижнем правом углу, -алгоритм — когда большие элементы матрицы сосредоточены в левом верхнем углу. При правильной реализации алгоритма на ЭВМ ошибки округления во многих случаях не оказывают большого влияния на точность нахождения собственных чисел матрицы А. Описание и особенности машинной реализации и -алгоритмов более подробно изложены в [4, 5, 14, 15].