§ 6.3. Функционально-преобразованные матрицы и их применение. Критерий В. И. Зубова

Рассмотрим систему

где А — матрица коэффициентов размерности — вектор-функция внешних воздействий .

Пусть на плоскости комплексного переменного s задана некоторая область соответствующая различным случаям расположения спектра исходной матрицы коэффициентов А системы (6.7). Область D может быть произвольной частью плоскости , в том числе левой полуплоскостью или некоторой заданной частью ее. Обозначим совокупность всех матриц порядка спектр которых находится внутри области через

С другой стороны, пусть на плоскости комплексного переменного задан круг радиуса с центром в начале координат. Обозначим через совокупность всех матриц порядка спектр которых находится внутри круга радиуса

Допустим, что существует оператор устанавливающий взаимно однозначное соответствие двух множеств: Если то оператор от матрицы А есть такая матрица порядка что

Таким образом, оператор воздействуя на любую матрицу А, взятую из множества переводит ее спектр в множество точек, содержащихся в множестве Это значит, что все собственные числа матрицы будут принадлежать кругу радиуса с центром в начале координат.

Эту задачу можно интерпретировать так. Требуется указать такую аналитическую функцию которая переводила бы границы множества на границы множества Тогда если спектр исходной матрицы А лежит внутри области D то спектр матрицы В в результате функционального преобразования будет расположен в круге радиуса с центром в начале координат.

Чтобы найти условия принадлежности спектра матрицы А области требуется указать простые в алгоритмическом отношении условия нахождения спектра матрицы В в круге. Если спектр то необходимо и достаточно, чтобы наибольшее по абсолютной величине собственное число матрицы В было по модулю меньше величины Если то

и в этом случае оценка выполняется относительно единичного круга с центром в начале координат. Тогда, для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось условие

где 0 — нулевая матрица.

Аналитическая функция может иметь различную структуру и отображать Область заданного расположения спектра исходной матрицы А не только на единичный круг с центром в начале координат, но и на области, ограниченные алгебраическими кривыми высших порядков, вложенными в единичный круг.

Отображение областей расположения спектра матрицы А на круг с центром в начале координат или на фигуру, вложенную в круг позволяет решить задачу устойчивости линейных систем по исходной матрице А без определения коэффициентов характеристического уравнения. Различные отображения приводят к различным функциональным преобразованиям матриц. Основы метода функционально-преобразованных матриц были заложены В. И. Зубовым в 1959 г. [7].

Необходимые и достаточные условия расположения всех собственных чисел матрицы А в заданной области D комплексной плоскости к имеют вид

где В — один из видов функционально-преобразованных матриц.

Выполнение условия (6.8) можно проверить по нормам и модулю следа матрицы В, величине наибольшего по модулю собственного числа а также другим неравенствам, известным в высшей алгебре.

Рассмотрим способ анализа устойчивости линейных систем по уравнениям переменных состояния без построения характеристического полинома. В теории аналитических функций широко известно дробно-линейное преобразование

Оно обладает тем свойством, что левая полуплоскость комплексного переменного s переводится им во внутренность единичного круга с центром в начале координат плоскости комплексного переменного , при этом мнимая ось, рассматриваемая как окружность бесконечного радиуса, переходит в единичную окружность. Если комплексная переменная s перемещается вдоль мнимой оси, то комплексная переменная движется вдоль окружности единичного радиуса. Каждой точке левой полуплоскости соответствует вполне определенная точка, принадлежащая внутренности единичного круга, и наоборот, т. е. это соответствие взаимно однозначно:

Подставим значение s из (6.9). в Характеристическое уравнение (6.4), тогда

После некоторых преобразований получим

Умножим уравнение (6.10) на

Матрицу можно преобразовать:

Характеристическое уравнение относительно новой переменной будет иметь вид

Легко видеть, что если все собственные числа s исходной матрицы коэффициентов А системы (6.7) лежат в левой полуплоскости комплексного переменного то все собственные числа построенной матрицы В находятся внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат плоскости комплексного переменного . Если хотя бы одно s окажется в правой полуплоскости, среди найдется такое, для которого

Известно, что если собственные числа матрицы В суть собственные числа матрицы равны т. е. при возведении матрицы В в степень в ту же степень возводятся и ее собственные числа.

Тогда, если все матрицы А системы (6.7) отрицательны, последовательное возведение матрицы В в степень уменьшает абсолютную величину собственных чисел ибо все лежат внутри единичного круга с центром в начале координат и по модулю меньше единицы:

Критерий формулируется следующим образом: для того чтобы система (6.7) была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы

выполнялось условие

где 0 — нулевая матрица.

Можно доказать, что критерий справедлив во всех случаях, если матрица неособая, т. е. когда ее определитель не вырождается в нуль. Если то не существуют

Могут быть построены функционально-преобразованные Матрицы для всех практически важных случаев расположения спектра матрицы А. Введем, например, степень устойчивости

Для того чтобы спектр матрицы А располагался левее мнимой оси в области необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось условие

где

Введем угол соответствующий некоторому показателю колебательности. Для того чтобы спектр матрицы А располагался внутри угла раствора с центром в начале координат, необходимо и достаточно, чтобы соблюдалось требование

где

Матрицы являются комплексно-сопряженными, поэтому можно рассматривать лишь одну из них.

Аналогично могут быть сформированы функционально-преобразованные матрицы В для других случаев расположения спектра матрицы

Выполнимость необходимого и достаточного условия устойчивости можно установить по факту абсолютного убывания элементов матрицы Возведение матрицы в степень рекомендуется выполнять так, чтобы каждая последующая матрица являлась квадратом предыдущей, т. е. по закону

Тогда степень матрицы В находится через шагов (128-я степень матрицы В получается через семь, через десять возведений матрицы В в степень). В этом случае в памяти машины не надо постоянно удерживать матрицу В, так как каждый раз используются лишь полученные из нее степени.

Изучение степени матрицы следует Вести до тех пор, пока не будет соблюдаться неравенство

где — элементы матрицы

Более экономичная оценка возможна на основе рассмотрения матричных норм и следов. Напомним, что нормой квадратной

матрицы В называют действительное число удовлетворяющее условиям:

а) , причем тогда и только тогда, когда

(с — число), в частности

Здесь В и D — матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл. В частности, для квадратной матрицы имеем где — натуральное число.

Рассмотрим следующие легко вычисляемые нормы:

Для того чтобы система (6.7) была асимптотически устойчива и при , достаточно, чтобы любая из норм матрицы В была меньше единицы.

т. е. достаточно, чтобы выполнялось условие

Если условие (6.19) не соблюдается, то из этого не следует, что исследуемая точка пространства параметров системы является неустойчивой. Вопрос об устойчивости должен быть исследован дополнительно путем рассмотрения степеней матрицы

Пусть все собственные значения матрицы В лежат внутри единичного круга с центром в начале координат а все нормы матрицы В больше единицы. Рассмотрим последовательность степеней

В силу того что все собственные числа элементы матрицы В начиная с некоторого k убывают, стремясь к нулю при Тогда на каком-либо шаге Это условие является необходимым и достаточным при суждении об устойчивости системы.

Таким образом, оценка устойчивости по нормам выполняется в такой последовательности.

1. Строится матрица В по исходной матрице коэффициентов А системы (6.7).

2. Вычисляется какая-либо из норм матрицы В или контролируется условие (6.19). Если то исследуемая точка пространства параметров принадлежит области устойчивости.

3. Если соотношение (6.19) не выполняется, то матрицу В следует возводить в степень и рассматривать нормы последовательных степеней:

Если При некотором фиксированном k какая-либо из норм стала меньше единицы то условие устойчивости соблюдается.

Рассмотрим иллюстративный пример.

Пример 6.1. Определим, является ли система асимптотически устойчивой. Матрица А имеет вид

Функционально-преобразованная матрица В

Вычислим нормы матрицы

При рассмотрении норм достаточное условие устойчивости не удовлетворяется, т. е.

Возведем матрицу В в степень:

Норма матрицы меньше единицы, что указывает на факт выполнения условия при

Рассмотрим возможность оценки собственных чисел матрицы В по ее следу. Известно, что следы последовательных степеней матрицы представляют собой суммы всех собственных чисел взятых в той же степени, что и матрица т. е.

Если система устойчива и то след также стремится к нулю при

Если сочетание параметров исследуемой точки пространства таково, что точка находится достаточно далеко от границы устойчивости, то матрицу В можно не возводить в степень, а воспользоваться достаточным критерием неустойчивости

Можно показать, что если выполняется условие (6.20), то среди найдется хотя бы одно, для которого справедливо условие Это означает, что система является неустойчивой.

Если соотношение (6.20) не удовлетворяется, никаких выводов относительно принадлежности исследуемой точки к области неустойчивости сделать нельзя. В этом случае можно рассмотреть поведение последовательности следов матрицы В, т. е.

Программу рекомендуется строить таким образом, чтобы на каждом шаге возведения матрицы В в степень контролировать условия устойчивости и неустойчивости.

Отметим, что функционально-преобразованные матрицы могут иметь различную структуру. Однако случаях алгоритм должен строиться так, чтобы однозначно устанавливалась принадлежность спектра матрицы В кругу радиуса центром в начале координат или некоторой области, вложенной в круг.

Возведение матрицы в степень требует операций умножения операций сложения. Матричные операции хорошо поддаются распараллеливанию, и современные матричные процессоры позволяют значительно сократить время расчетов. Тем не менее существуют возможности уменьшения трудоемкости за счет изменения вычислительной схемы. Например, в некоторых ЭВМ для перемножения матриц применяется алгоритм Штрассена, в котором число операций умножения составляет а число сложений Практически алгоритм Штрассена более эффективен лишь на высоких порядках матрицы.