§ 6.8. Машинная реализация частотных методов

Машинная реализация известных, сложившихся в теории автоматического управления методов состоит в том, чтобы распространить их на системы большой размерности, выполнять исследования не только по одному, но и по нескольким параметрам, упростить и ускорить процедуру получения конечных данных, осуществить сервисное представление результатов (графиков, таблиц, расчетных данных) с помощью внешних устройств ЭВМ..

Несмотря на наметившуюся тенденцию широкого внедрения ЦВМ в область анализа и синтеза автоматических систем, частотные методы применительно к машинной постановке не утратили своего значения. Наоборот, реализация их на ЦВМ позволяет в кратчайший срок получать обширную и весьма ценную информацию о проектируемой системе. По амплитуднофазовым частотным характеристикам (АФЧХ) проектировщик может судить о таких качественных характеристиках, как запасы устойчивости по амплитуде и по фазе, резонансная частота и т. д. Исследование реальных объектов с помощью АФЧХ дает возможность решать задачи анализа функциональных, структурных и параметрических свойств объекта и отдельных его частей, идентификации по экспериментально снятым

АФЧХ, синтеза регулятора систем путем подбора корректирующих контуров.

Рассмотрим возможности вычисления на ЦВМ амплитудно-фазовых частотных характеристик в логарифмическом масштабе (ЛАФЧХ) и укажем на особенности и основные трудности, возникающие при решении этой задачи на машине.

Пусть передаточная функция задана в виде

Требуется вычислить , а затем построить

где — амплитудная и фазовая характеристики исследуемой системы.

Построение частотных характеристик сводится к многократному вычислению передаточной функции при комплексном значении аргумента , где а принимает значения из некоторого интервала и последующему построению графиков модуля и аргумента. Факт устойчивости или неустойчивости устанавливается по подсчету точек пересечения фазовой характеристикой линии слева от частоты среза Машинная ориентация этого метода оценки устойчивости состоит в алгоритмизации вычислительной процедуры построения графиков . Особенность заключается в том, что функция может находиться не только в первом квадранте, т. е. может быть разрывной. Это вызывает определенные трудности при машинной реализации, ибо на ЦВМ легко могут быть получены только главные значения функции

Рассмотрим один из методов построения Представим передаточную функцию в виде комбинации элементарных функций

которые соответствуют передаточным функциям типовых звеньев системы. Если принять во внимание, запаздывание в блоках, то их передаточные функции можно записать в виде

Таким образом, можно представить передаточную функцию любого элементарного звена, полагая соответствующие коэффициенты равными нулю. Программа строится для стандартного вида передаточной функции, а значение полной передаточной функции получается путем элементарных арифметических действий над комплексными числами.

При построении ЛАФЧХ на ось абсцисс, как обычно, наносятся значения , меняющиеся в интервале На оси ординат откладываются величины Программа вычисления величины состоит из постоянной части, которая содержит стандартную подпрограмму вычисления элементарной передаточной функции (6.49), а также стандартной подпрограммы вычисления функций и подпрограммы сложения и умножения пар комплексных чисел. При проектировании конкретной системы управления достаточно скомбинировать входы и выходы соответствующих элементарных передаточных функций и выполнить, где необходимо, замыкание по известным правилам.

На ЦВМ осуществляется расчет по стандартным программам, составленным в соответствии с выражениями

где Используя правила разложения полиномов на множители исходную передаточную функцию приводят к произведению из звеньев типа (6.49). Тогда логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

разомкнутой передаточной функции будет иметь вид

а фазовая

Такой алгоритм позволяет достаточно компактно составить программу вычислений Ввод массива коэффициентов исходных типовых звеньев осуществляется после их идентификации.

Остановимся на некоторых особенностях построения ЛАФЧХ по приведенной методике. При реализации формулы (6.51) для углов значения аргументов в (6.51) стремятся к что исключает расчет таких точек на ЦВМ, поэтому их следует заменить на выражения

которые не имеют указанных особенностей.

В общем случае при построении характеристики для звеньев может быть скачок фазы при следующих сочетаниях коэффициентов

В связи с этим программа вычисления фазы должна строиться с учетом возможных скачков функции . Если , т. е. система демпфирована, то — непрерывная функция и скачка фазы не будет.

В любом из указанных «опасных» сочетаний коэффициентов следует проверить, попадают ли значения

в интервал изменения частоты Если то функция на этом интервале терпит разрыв и фаза меняется скачком на величину Тогда к значению на этом интервале следует добавить по формуле

Для учета скачка фазы можно также использовать следующий подход. Пусть известно истинное значение фазы в

точке Выполним вычисления для получения частотных характеристик в точке Главное значение функции в точке определяется по формуле (6.51):

Истинное значение в случае скачка фазы может отличаться от главного значения слагаемым, равным где Будем считать, что где h — шаг в логарифмическом масштабе. Если шаг достаточно мало отличается от единицы, то можно считать, что в случае скачка фазы разность мало отличается от Тогда значение фазовой характеристики в точке вычисляется по формуле

где

Если скачка фазы нет, то округляется до

Шаг построения частотной характеристики должен быть выбран таким, чтобы колебания фазовой характеристики при изменении частоты от до не превышали значения .

Для определения запаса устойчивости по амплитуде необходимо вычислить значение амплитудной характеристики при том значении со, при котором фазовая характеристика обращается в . Следовательно, нужно найти корень фазовой характеристики и при этом значении корня вычислить значение амплитудной характеристики.

Значения находятся в памяти машины в виде таблицы. Следовательно, решение задачи сводится в основном к решению уравнения левая часть которого задана таблично.

При построении частотного годографа значения и располагаются достаточно близко, поэтому для эффективного решения уравнения может быть использован линейный интерполяционный подход. Использование линейной интерполяции по формуле

позволяет быстро и достаточно точно определять значение, при котором фазовая характеристика .

В том случае, когда передаточную функцию представить в виде звеньев не удается, приходится строить алгоритм вычисления ЛАФЧХ для общего случая представления в виде (6.48).

В результате внедрения таких программ инженеру-проектировщику остается следующая работа: а) написать выражения для передаточных функций в виде комбинаций передаточных функций для элементарных звеньев; б) указать, оТ какого входа до какого выхода системы необходимо построить частотные характеристики.

Использование ЦВМ для получения частотных характеристик может дать не только существенные выгоды с точки зрения автоматизации вычислений, но и принципиальные преимущества по сравнению с обычными «ручными» способами. При исследовании большого числа точек пространства параметров целесообразно выводить на печать значения функций не при всех а при тех, которые в наибольшей степени Интересуют исследователя. В связи с этим необходимо выявить те параметры, которые анализирует исследователь при наличии графика логарифмической амплитудной характеристики. Обычно это запасы устойчивости по амплитуде и по фазе, которые могут быть легко получены при наличии этой характеристики, а также резонансный пик и частота среза. Такой подход позволяет не печатать всех значений для большого числа а выводить на печать только действительно интересующие проектировщика значения запасов устойчивости по амплитуде и по фазе, величины резонансной частоты и т. д.

Составленные подобным образом программы прошли достаточную практическую проверку и позволили в полной мере автоматизировать процесс вычисления логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик на ЦВМ. Частотные методы были реализованы на ЦВМ (в кодах машины) и применялись В. М. Есиповым еще в начале 60-х годов при машинном синтезе систем управления.

Можно строить частотные характеристики путем прямого вычисления вынужденной составляющей уравнения переменных состояния при подаче на вход гармонического сигнала Такой способ построения АФЧХ был предложен Р. И. Сольницевым. Преимущества его состоят в том, что представляется возможным строить частотные характеристики непосредственно по уравнениям переменных состояния (ибо частотная характеристика, по существу, представляет собой реакцию

акцию системы при подаче на вход гармонического сигнала), устраняются операции с комплексными числами, не нужно вводить специальных мер для учета неминимально-фазовости, резонансных свойств. Оказывается возможным упростить и ускорить получение частотных характеристик системы между любыми точками ее структуры как для замкнутых, так и для разомкнутых контуров, а также в определенной степени распространить такой подход для анализа нелинейных систем.

Особенность применения частотных методов применительно к машинной постановке заключается в увеличении их информационной ценности. Можно строить не только сами частотные годографы, но и выводить на печать данные анализа их, т. е. строить линии равных значений запасов устойчивости по амплитуде (изамплиты) и линии равных значений запасов по фазе (изофазы) в зависимости от изменения параметров системы. Изамплиты и изофазы затем могут быть нанесены на области заданного качества, в частности на области, построенные при различных степенях устойчивости и показателях колебательности. Такое совмещение характеристик дает возможность сразу указать значение запасов устойчивости по амплитуде к. по фазе для любой интересующей проектировщика точки внутри области устойчивости и, таким образом, существенно облегчить выбор параметров при синтезе системы автоматического управления.