§ 3.7. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

В инженерной практике широкое применение получил анализ устойчивости систем автоматического управления, основанный на применении логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. Это обусловлено прежде всего тем, что построение логарифмических частотных характеристик разомкнутых систем, особенно имптотических логарифмических частотных характеристик, значительно проще, чем построение годографа амплитудно-фазовых характеристик.

Покажем, каким требованиям должны удовлетворять логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛAX) и логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФХ) разомкнутой системы, при которых обеспечивалась бы устойчивость системы в замкнутом состоянии.

Как было показано выше, устойчивость связана с числом переходов амплитудно-фазовой характеристики отрезка отрицательной вещественной полуоси. Когда амплитудно-фазовая характеристика пересекает отрицательную вещественную полуось, ЛФХ пересекает одну из линий где (рис. 3.21). Переходы через эти линии не опасны с точки зрения устойчивости, если они совершаются справа от точки т. е. если при этом модуль амплитудно-фазовой характеристики меньше единицы

и, следовательно, если ординаты ЛАХ отрицательны, т. е. Поэтому область отрицательных ЛАХ при исследовании устойчивости интереса не представляет.

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок характеристики соответствует пересечение ЛФХ при прямых снизу вверх (точка 2 на рис. 3.21), а отрицательному переходу — сверху вниз (точка на рис. 3.21).

Критерий устойчивости Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам может быть сформулирован следующим образом: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазочастотной характеристикой прямых во всех областях, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика положительна была равна 1/2 (I — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

На рис. 3.21 приведены для примера амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы и соответствующие ей ЛАХ и ЛФХ. Из анализа этих ЛАХ и ЛФХ видно, что разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФХ прямых при равна нулю. Таким образом, если разомкнутая система была устойчива то и замкнутая система будет устойчива, при этом запасы устойчивости по амплитуде равны а запас устойчивости по фазе равен .

Рис. 3.21