Передаточная матрица.

Для описания многомерных систем и объектов, как и в случае одномерных систем, можно использовать передаточные функции. Передаточной функцией (в изображениях Лапласа) по параметру управления и выходу называют отношение изображения Лапласа выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. По определению,

Эту передаточную функцию можно вычислить следующим образом. В системе (2.60) приравниваем нулю изображения всех возмущающих воздействий и параметров управления, кроме Из полученной системы алгебраических уравнений находим решение а затем, разделив его на получим искомую передаточную функцию.

Аналогично определяют передаточную функцию по возмущающему воздействию и выходу:

В случае многомерных систем (объектов) для ее полного описания необходимо иметь передаточных функций по управлению и передаточных функций по возмущению. Эти передаточные функции записывают в виде матриц:

Матрицы (2.65) и (2.66) называют матрицами передаточных функций или передаточными матрицами: матрица (2.65) - по управлению-, а матрица (2.66) — по возмущению.

Передаточные матрицы дают полное описание многомерных систем (объектов) при нулевых начальных условиях. С их помощью уравнения (2.60) или (2.62) многомерной системы в изображениях Лапласа можно записать в следующем виде:

Действительно, согласно определению (2.63), когда изображения всех возмущающих воздействий и параметров управления, кроме равны нулю, имеем

Аналогично, из (2.64)

В общем случае, когда все параметры управления и возмущающие воздействия отличны от нуля, используя принцип суперпозиции, можем записать

Очевидно, (2.67) является матричной формой записи полученной системы (2.68).

Рассмотрим способы вычисления передаточных матриц. Первый способ, указанный выше, основан на использовании определений (2.63) и (2.64). Второй способ основан на соотношениях

Эти соотношения получают следующим образом. Умножим слева обе части матричного уравнения (2.62)

на обратную матрицу Тогда получим

Приравнивая правую часть полученного уравнения к правой части равносильного ему уравнения (2.67), получим соотношения (2.69).

Как известно из курса высшей алгебры, обратная матрица

Здесь алгебраическое дополнение элемента Знак Т обозначает операцию транспонирования.

Пример 2.7. Пусть система (объект) описывается уравнениями

Перейдем к изображениям Лапласа (при нулевых начальных условиях)

В матричной форме эта система записывается так:

где

Найдем обратную матрицу

Так как являются единичными матрицами, то

Весовые или импульсные переходные матрицы. Пусть управляющий параметр а остальные управляющие параметры и возмущающие воздействия равны нулю. При этом решение (2.59) многомерной системы при нулевых начальных условиях обозначим Эти функции называют весовыми или импульсными переходными функциями. Функция описывает реакцию системы на выходе при действии в точке приложения параметра управления единичного импульса и называется импульсной переходной или весовой функцией по параметру управления и выходу. Матрицу

составленную из весовых функций по управлению, называют импульсной переходной или весовой матрицей по управлению.

Аналогично определяют импульсную переходную или весовую матрицу по возмущению:

Здесь — решение (2.59) многомерной системы, когда , а все остальные возмущающие воздействия и параметры управления равны нулю.

Весовые матрицы, как и передаточные матрицы, дают полное описание многомерной системы (объекта).

Установим связь между весовыми и передаточными матрицами.

Согласно определению (2.63) передаточной функции

Так как при и остальных входных воздействиях, равных нулю, то из уравнения (2.70)

Аналогично можно показать, что

Таким образом, передаточные функции (элементы передаточных матриц) равны изображению Лапласа от весовых функций (элементов весовых матриц).

В матричной форме (2.71) и (2.72) принимают вид

По определению, интеграл от матрицы равен матрице интегралов от ее элементов.

Запишем формулу для определения выходных величин по весовым матрицам при произвольных входных воздействиях. Учитывая, что оригиналами от передаточных функций являются весовые функции, и используя теорему о свертке, из (2.68)

переходя к оригиналам, получим

Эта система в матричной форме записывается как

Таким образом, связь между выходными и входными величинами с помощью весовых матриц записывается так же, как и в одномерном случае.