Частотные характеристики.

При исследовании и проектировании автоматических систем обычно используют амплитудно-фазовые и логарифмические частотные характеристики разомкнутых систем. Передаточные функции разомкнутых одноконтурных, а иногда и многоконтурных систем можно преобразовать к виду

где — передаточные функции элементарных звеньев.

В этом случае модули и аргументы частотных передаточных функций системы и звеньев в соответствии с правилом модулей и аргументов комплексных чисел связаны между собой соотношениями

Вещественные и мнимые частотные функции системы определяются равенствами

Пользуясь полученными соотношениями (2.55)-(2.57), можно построить АФЧХ. Из (2.55) очевидно

где — логарифмические амплитудные частотные функции.

Из (2.56) и (2.58) вытекает следующее правило построения и систем, передаточные функции которых преобразованы к виду (2.54): строят ЛЧХ отдельных звеньев и затем их графически складывают.

На основании (2.58) можно также сформулировать несколько иной, более простой порядок построения ЛАЧХ. Проиллюстрируем это сначала на конкретном примере.

Пусть

Логарифмическая амплитудная частотная функция

Асимптотическая ЛАЧХ рассматриваемой системы состоит из четырех асимптот (рис. 2.28, а, б, в) и строится следующим образом. Вычислим сопрягающие частоты:

Здесь сопрягающие частоты апериодического, форсирующего и колебательного звеньев соответственно.

Рис. 2.28

Напомним, что при построении асимптотической элементарных звеньев при частотах, меньших сопрягающей частоты, под корнем оставляют только единицу (остальными членами пренебрегают), а при частотах, больших сопрягающей частоты, — члены с наивысшей степенью со. Поэтому в рассматриваемом примере при

Это уравнение первой асимптоты. Согласно этому уравнению, первую асимптоту проводят через точку с координатами с наклоном — Она кончается на первой сопрягающей частоте.

При аналогично имеем

Это - уравнение второй асимптоты. Ее наклон изменяется на — и обусловливается апериодическим звеном. Вторую асимптоту проводят от конца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты согласно ее уравнению с наклоном

При

Это уравнение третьей асимптоты. Ее наклон изменяется на и обусловливается форсирующим звеном. Третью асимптоту проводят от конца второй асимптоты до третьей сопрягающей частоты с наклоном

При

Это уравнение последней, четвертой, асимптоты. Ее наклон изменяется по отношению к третьей асимптоты на и обусловливается колебательным звеном.

Теперь нетрудно сформулировать общее правило построения асимптотической ЛАЧХ системы с передаточной функцией вида

где — передаточные функции элементарных звеньев.

Правило построения асимптотической ЛАЧХ.

1. Вычисляют сопрягающие частоты и значение где k — передаточный коэффициент системы, равный произведению передаточных коэффициентов звеньев

2. Строят первую асимптоту, которую проводят До первой сопрягающей частоты через точку с координатами с наклоном — Здесь равно разности между числами интегрирующих и дифференцирующих звеньев.

3. Проводят вторую асимптоту от конца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты. Ее наклон изменяется на или — в зависимости от того, является ли сопрягающей частотой форсирующего, апериодического, форсирующего второго порядка или колебательного звена соответственно.

4. Строят каждую последующую асимптоту аналогично второй. Изменение наклона асимптоты зависит от того, сопрягающей частотой какого элементарного звена является

Если какая-либо сопрягающая частота является кратной и ее кратность равна т. е. имеется I одинаковых элементарных звеньев, то изменение наклона при этой частоте в I раз больше, чем при соответствующей простой частоте.

Для колебательных звеньев с малым коэффициентом демпфирования асимптотическая ЛАЧХ должна быть скорректирована в окрестности сопрягающей частоты по точным формулам или с помощью кривых поправок (см. рис. 2.9, г).