Формула Мейсона.

Как нетрудно показать, параллельные дуги (рис. 2.25, а) можно заменить одной дугой с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций исходных дуг (рис. 2.25, б). Простой путь, если нет не принадлежащих ему дуг, инцидентных его промежуточным вершинам, можно заменить дугой с передаточной, функцией, равной произведению передаточных функций дуг этого пути. Так, например, простой путь на рис. 2.25, в можно заменить дугой (рис. 2.25, г). Простой путь на рис. 2.25, д заменить дугой нельзя, так как имеются не принадлежащие этому пути дуги инцидентные его промежуточным вершинам.

Для упрощения графа и вычисления передаточной функции системы управления по ее графу можно также воспользоваться формулой Мейсона

Здесь — передаточная функция простого пути от вершины к вершине х, равная произведению передаточных функций

дуг, входящих в этот путь; общее число таких путей; определитель графа;

где в первой сумме — передаточная функция простого контура, равная произведению передаточных функций входящих в этот контур дуг, и суммирование производится по всем простым контурам; во второй сумме — произведение передаточных функций контуров и суммирование производится по всем несоприкасающимся парам контуров; в третьей сумме — произведение передаточных функций контуров и суммирование производится повеем несоприкасающимся тройкам контуров и т. д.; — определитель подграфа, получающегося из исходного графа при удалении дуг и вершин простого пути, а также всех дуг, инцидентных этим вершинам.

Два контура (пара контуров) называются несоприкасающимися, если они не имеют общих дуг и (или) общих вершин. Тройка (четверка и т. д.) контуров называется несоприкосающейся, если любая пара контуров из этой тройки (четверки и т. д.) является несоприкасающейся.

Подграф, получающийся при удалении дуг и вершин какого-либо простого пути, а также всех дуг, инцидентных удаляемым вершинам, будем называть подграфом, соответствующим этому простому пути.

Рис. 2.25

Граф на рис. 2.26, а имеет два простых пути от вершины к вершине х (пунктирные линии с точками). Передаточные функции этих путей Он содержит пять простых контуров (см. замкнутые пунктирные линии) с передаточными функциями

и три несоприкасающиеся пары контуров с передаточными функциями

Этот граф не содержит несоприкасающихся троек и большего числа контуров, поэтому определитель

Подграф, соответствующий первому простому пути (рис. 2.26, б), имеет один контур, а подграф, соответствующий второму простому пути (рис. 2.26, в), — два контура. Определители этих подграфов

Согласно формуле Мейсона, передаточная функция

Пример 2.5. Вычислим передаточные функции системы управления, рассмотренной в примере 2.4 (см. рис. 2.22, а). Граф этой системы

Рис. 2.26

Рис. 2.27

управления приведен на рис. 2.27. Найдем передаточные функции

От вершины к вершине у имеется два простых пути с передаточными функциями

Имеется три контура с передаточными функциями

Несоприкасающихся пар и большего числа контуров граф не содержит. Поэтому его определитель

Подграфы, соответствующие простым путям от вершины к вершине у, замкнутых контуров не содержат, и их определители

По формуле Мейсона,

От вершины к вершине у ведет один простой путь — дуга Соответствующий этому пути подграф не имеет замкнутых контуров, и его определитель Следовательно,

От вершины к вершине ведет также один простой путь — дуга Соответствующий этому пути подграф имеет один контур с передаточной функцией и его определитель

Передаточная функция