§ 6.9. Построение областей устойчивости и динамического качества как задача параметрического синтеза

Внедрение ЭВМ в практику проектирования систем различного назначения расширяет возможности инженера-проектировщика и позволяет повысить информационную ценность многих традиционных и новых методов теории управления. В частности, оказывается возможным поставить задачу нахождения совокупности параметров, удовлетворяющих заданным динамическим свойствам. Подобная задача, по существу, равносильна нахождению области в пространстве параметров, внутри которой заданный функционал отвечает заранее поставленным требованиям. Природа области может быть различной и определяется видом функционала. В наиболее простом случае это область устойчивости. В дальнейшем в ней может быть

выделена область заданной колебательности, а также области с другими динамическими свойствами. При определенных способах введения функционала искомая, область является «око-лооптимальной» и можно, условно говорить об оптимизации множеством в пространстве параметров.

Околооптимальное множество точек в пространстве параметров представляет практический интерес, теоретическая оптимальная точка может находиться внутри такой области. Концепция синтеза автоматических систем, основанная на нахождении и использовании областей заданного динамического качества, представляет собой самостоятельную методологическую проблему.

Конкретизируем задачу применительно к линейным автоматическим системам. Рассмотрим дифференциальную систему

Пусть элементы матрицы А являются непрерывными функ циями параметров изменяющихся в некоторой ограниченной области определяемой неравенствами

где заданные пределы изменения параметров.

Пусть задан функционал отражающий качественные характеристики системы. В качестве такого функционала могут быть использованы ближайшее к мнимой оси собственное число (степень устойчивости), ограничения чисто мнимых частей спектра матрицы А или другие показатели, приближенно характеризующие динамические свойства переходных процессов. В области допустимых значений требуется найти границы такой подобласти со внутри которой введенный функционал отвечает условию

а вне этой области

где I — некоторое заданное число.

Пусть, например, требуется осуществить построение границы подмножества с») с: так, чтобы спектр матрицы А располагался внутри заданной области D на плоскости комплексного переменного . В частности, если область D есть вся левая полуплоскость, то задача равносильна построению обыч

ной области устойчивости. Если область D является полуплоскостью, расположенной левее мнимой оси на расстоянии от нее, то задача сводится к построению области, обеспечивающей определенную степень устойчивости. Задавая различным образом границу области D, можно обеспечить определенные качественные ограничения на переходные процессы. Нахождение подмножества представляет собой одну из задач параметрического синтеза, так как сводится к подбору параметров исходя из условий расположения всех собственных чисел матрицы А в заданной области D левой полуплоскости.

Методы нахождения искомой области в пространстве параметров должны быть достаточно эффективны с точки зрения машинной реализации. Для того чтобы определить границы области, надо найти надежные и экономичные способы построения границы на всем ее протяжении, исключая участки, выходящие за ограничения.