Метод трапеций.

В инженерной практике широко применяют метод разложения частотной характеристики на сумму трапеций, предложенный В. В. Солодовниковым. Две стороны единичной трапеции Б (рис. 4.31) совпадают с координатными осями, третья параллельна оси абсцисс, а четвертая имеет

Рис. 4.29

Рис. 4.30

наклон Функция, соответствующая частотной характеристике Б (рис. 4.31), записывается так:

Если принять такую единичную трапецию за некоторую вещественную частотную характеристику, то соответствующая ей переходная -функция определяется интегралом:

где - интегральный синус.

Значения -функций даны в табл. 4.2.

Для трапеции с другой высотой основанием и точкой излома (характеристика А на рис. 4.31) получим (по свойствам 2 и 3 об изменении масштабов)

Рис. 4.31

Рис. 4.32

Обычно поступают так: сначала характеристику приблизительно разбивают на прямолинейные отрезки, при этом в окрестности экстремумов прямолинейные отрезки располагаются параллельно оси со (рис. 4.32, а). Далее из точек изломов проводят линии так, что характеристика оказывается разбитой на несколько трапеций, частично наложенных одна на другую. Затем эти трапеции вычерчиваются на другом чертеже таким образом, чтобы основание каждой из них легло на ось со (рис. 4.32, б).

Для всех трапеций определяют по (4.80) — соответствующие им вычерчивают кривые на одном графике; их знаки должны совпадать со знаками ординат соответствующих трапеций. Суммируя графически вычисленные процессы (рис. 4.32, в), получим

Можно также характеристику представить линейными отрезками, но распределить их с лучшим приближением к кривой и тогда пользоваться методом треугольников, предложенным А. А. Вороновым [2]. Полученные при пересчете значения из по (4.80) могут не совпадать для отдельных трапеций, поэтому при использовании метода трапеций возникает необходимость графического суммирования составляющих кривых что ухудшает точность результатов. От этого недостатка свободен метод треугольников.

Представим характеристику линейными отрезками (рис. 4.33), обеспечив возможно лучшее приближение к кривой;

отрезки продолжаем до пересечения с осью ординат, при этом площадь под кривой будет разбита на пять треугольников: Затем каждый из треугольников заменим другим с основанием, равным проекции основания данного треугольника на ось с высотой, равной стороне, лежащей на оси Р. На рис. 4.34, а, б показана замена на так, чтобы

Из (4.79) при

определяют значения -функции для единичного треугольника

Соответствующие значения -функции даны в табл. 4.3. Заметим, что переходный процесс для, треугольной частотной характеристики описывается монотонной функцией времени. Для того чтобы показать это, продифференцируем (4.81):

Из полученного выражения видно, что производная положительна и обращается в нуль при значениях где

Переходный процесс для треугольников, замещающих определяют из следующей зависимости: где — высота; — основание замещающего треугольника.

Рис. 4.33

(см. скан)

(см. скан)

Продолжение табл. 4.2 (см. скан)

Рассмотрим несколько случаев нахождения ординат вещественной частотной характеристики по другим характеристикам системы: амплитудно-фазовой, логарифмическим частотным характеристикам, кривым D-разбиения в плоскости одного параметра системы.

Остановимся на определении по амплитудно-фазовой характеристике системы.

Передаточная функция замкнутой системы (см. рис. 4.1).

Определим :

где а — аргумент вектора — аргумент вектора

Соответствующее построение приведено на рис. 4.35.

В. В. Солодовниковым разработан метод построения круговой диаграммы для нахождения линий равного значения т. е. если , то из (4.83) имеем

Рис. 4.34

Продолжение табл. 4.2 (см. скан)

или

Кривая (4.85) является окружностью, центр которой лежит на оси абсцисс, так как уравнение не содержит окружности имеют общую точку Радиус окружности

Соответствующие кривые показаны на рис. 4.36 с указанием значений Р, для которых эти окружности построены. Аналогично находят все окружности (рис. 4.36). Радиус окружности

На круговую диаграмму накладывают кривую выполненную в том же масштабе, и считывают значения которые

Рис. 4.35

(см. скан)

соответствуют индексам окружностей сетки, пересекающей кривую в точках, соответствующих частотам

Вещественную частотную характеристику определяют по логарифмическим частотным характеристикам. Передаточную функцию разомкнутой системы можно записать через амплитуду и фазу:

Если (4.89) подставить в (4.83) и разделить вещественные и мнимые части, то

Рис. 4.36

По этим формулам построены номограммы для определения по логарифмическим частотным характеристикам. Эти номограммы построены на плоскости, по оси абсцисс которой отложены значения , а по оси ординат (стороны квадрата). На эту плоскость накладывают ЛАФЧХ разомкнутой системы с указанием частоты. Значения вещественной частотной (или мнимой) характеристики определяют по точкам пересечения нанесенной кривой ЛАФЧХ с кривыми номограммы. Эти номограммы представлены на рис. 4.37.

Рис. 4.37 (см. скан)