§ 3.8. Построение областей устойчивости в плоскости параметров системы

При исследовании устойчивости большое практическое значение имеет построение областей устойчивости в плоскости одного или каких-либо двух параметров, влияние которых на устойчивость исследуют, а также построение семейства областей устойчивости в плоскости двух параметров при различных фиксированных значениях третьего параметра.

Уравнение границ областей устойчивости можно находить, пользуясь любым критерием устойчивости. Однако чаще всего на практике применяют наиболее общий метод построения областей устойчивости, который был предложен Ю. И. Неймарком. и назван им методом D-разбиения.

Понятие о D-разбиении.

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы порядка, которое делением на коэффициент при переменном s с наивысшей степенью всегда может быть приведено к виду

Представим себе -мерное пространство, по координатным осям которого отложены коэффициенты уравнения (3.76). Это пространство называют пространством коэффициентов. Каждой точке пространства коэффициентов соответствуют конкретные числовые значения коэффициентов уравнения (3.76) и соответствующий им полином порядка. Уравнение (3.76) имеет корней, расположение которых на комплексной плоскости корней s зависит от числовых значений коэффициентов

Если изменять коэффициенты уравнения (3.76), то его корни в силу их непрерывной зависимости от коэффициентов будут перемещаться в комплексной плоскости корней, описывая корневые годографы.

Чтобы представить сказанное выше геометрически, рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка

Если взять три взаимно перпендикулярные оси и откладывать по ним значения коэффициентов то получим трехмерное пространство коэффициентов, каждой точке которого соответствуют вполне определенный полином третьей степени

и вполне определенные три корня в комплексной плоскости корней s (рис. 3.22).

Например, точке М, имеющей координаты соответствует полином имеющий три корня в плоскости корней (рис. 3.22, а). Другой точке, например имеющей координаты соответствует полином корни которого

При некотором значении коэффициентов уравнения (3.77) один из корней попадает в начало координат или пара корней попадает на мнимую ось, т. е. корни его будут иметь вид 0 или и, следовательно, соответствующая точка в пространстве параметров будет удовлетворять уравнению

Этому уравнению при — соответствует некоторая поверхность часть которой показана на рис. 3.22, б.

При изменении коэффициентов корни характеристического уравнения также изменяются и попадают на мнимую ось тогда, когда точка в пространстве коэффициентов попадет на поверхность При пересечении такой поверхности корни переходят из одной полуплоскости корней в другую. Следовательно, поверхность разделяет пространство коэффициентов на области, каждой точке которых соответствует определенное одинаковое число правых и левых корней. Эти области обозначают где — число правых корней характеристического уравнения. Разбиение пространства коэффициентов на области с одинаковым числом правых корней внутри каждой области и выделение среди полученных областей области устойчивости называют методом -разбиения.

Рис. 3.22

Рис. 3.23

Для характеристического уравнения третьего порядка в пространстве коэффициентов можно наметить четыре области: . Последняя область будет областью устойчивости.

Если изменяются не все коэффициенты, а часть из них, например два — при то вместо поверхности получим линию, которая является сечением поверхности плоскостью Эта линия разделит плоскость коэффициентов — на области с одинаковым числом правых корней (рис. 3.23).

Для уравнений более высокого порядка вместо обычного трехмерного пространства получаются многомерное пространство и гиперповерхности, разбивающие это пространство на области, что сильно усложняет задачу, а рассмотрение теряет наглядность.

Так как переход через границу D-разбиения в пространстве коэффициентов соответствует переходу корней характеристического уравнения через мнимую ось, то уравнение границы D-разбиения в общем случае

Из (3.79) видно, что уравнение границы D-разбиения может быть получено из характеристического уравнения системы заменой Границу D-разбиения можно строить не только в пространстве коэффициентов характеристического уравнения, но и в пространстве параметров системы (постоянных времени, коэффициентов усиления и т. от которых зависят коэффициенты характеристического уравнения.