§ 4.6. Корневые годографы

Траектории, описываемые на комплексной плоскости корнями характеристического уравнения замкнутой системы при плавном изменении одного из ее параметров от 0 до называют корневым годографом. Располагая корневым годографом, можно выбрать необходимое значение варьируемого параметра, соответствующее наиболее выгодному расположению корней с точки зрения требований к качеству конкретной системы. В СССР основополагающими работами в этом направлении были работы К. Ф. Теодорчика, развитые Г. А. Бендриковым и С. П. Стрелковым в 1948-1949 гг., в США — работы В. Ивенса в 1950 г.

Используя метод корневого годографа, можно решать следующие задачи построение годографов полюсов передаточной функции замкнутой системы при изменении одного из ее параметров; оценки влияния параметров системы, появляющихся при ее усложнении; качественной и количественной оценки реакции системы на типовой сигнал при изменении значения параметра системы; синтеза корректирующих элементов системы.

Для непрерывных линейных систем существует несколько методов построения корневых годографов, в частности методы Ивенса, Теодорчика—Бендрикова и Удермана. Наиболее трудоемким является метод Ивенса. Используя этот метод, можно оценить несколько вариантов с точностью что удобцо на первом этапе проектирования. Метод Теодорчика—Бендрикова позволяет проводить более детальные расчеты с использованием ЭВМ.

Рассмотрим метод Ивенса. Передаточная функция замкнутой системы (рис. 4.10)

— передаточная функция разомкнутой системы.

Рис. 4.10

Рис. 4.11

Характеристическое уравнение замкнутой системы

или

Надо отметить, что излагаемый метод наиболее пригоден для выбора общего коэффициента k передаточной функции разомкнутой системы которая содержит его как множитель.

Уравнение (4.32) можно записать в виде системы уравнений относительно модулей и фаз:

где

Уравнение корневых годографов (4.34) является основой для их построения.

Пусть известны нули и полюсы передаточной функции разомкнутой системы: — полюсы, — нули. Тогда передаточная функция разомкнутой системы

где — множитель, появляющийся при разложении числителя и знаменателя на множители; k — общий коэффициент усиления;

Сомножители (двучлены) числителя и знаменателя функции (4.35) на плоскости корней изображаются векторами которые образуют с вещественной осью углы (рис. 4.11). Тогда аргумент

можно записать как разность аргументов числителя и знаменателя и уравнение (4.34) примет вид

где

Уравнение (4.33) удобнее представить как

или

причем

где — длина соответствующих векторов — длина векторов

Корневые годографы строят по (4.36), куда k не входит. Для уже найденных корней по (4.37) определяют Ивенсом предложено специальное устройство для ускорения построения корневых годографов. Оно состоит из прозрачного транспортира для сложения углов и логарифмической спирали для перемножения длин векторов по которым определяют величину Описание этого устройства приведено в [2] к работах В. Ивенса.

Построение корневых годографов требует знания их свойств, которые приведем ниже без доказательств.

1. Комплексные части корневых годографов попарно сопряжены, и ветви годографа симметричны относительно вещественной оси.

2. Число ветвей корневого годографа равно порядку уравнения , т. е. числу полюсов передаточной функции замкнутой системы

3. Ветви корневого годографа начинаются при в полюсах передаточной функции разомкнутой системы

4. При ветвей корневого годографа стремятся к нулям передаточной функции разомкнутой системы, а остальные ветвей уходят в бесконечность.

5. ветвей корневого годографа, уходящие в бесконечность, имеют асимптоты, число которых равно разности

Рис. 4.12

порядков числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы . Асимптоты выходят из одной точки на вещественной отрицательной полуоси с абсциссой

под углами

где

6. Точки пересечения корневого годографа с мнимой осью могут быть найдены с использованием одного из критериев устойчивости. Если то эти расчеты не вызовут трудностей, а для систем более высокого порядка эта часть построения годографа наиболее трудоемка. В этом случае можно рекомендовать алгоритм Рауса, чрезвычайно удобный для реализации на или метод проб по уравнению фаз (4.36).

7. Точки на действительной оси, из которых одна ветвь корневого годографа уходит в верхнюю полуплоскость, а сопряженная ей ветвь — в нижнюю или, наоборот, приходят в эти кратные точки (кратные корни на действительной оси), можно найти из условия нулевого приращения суммы ментов в (4.36) при переходе от этой точки к близкой ей, нележащей на действительной оси. При этом нужно учитывап знаки приращения углов

Проиллюстрируем примером определение точек пересе чения с действительной осью. На рис. 4.12 показано расположение полюсов передаточной функции разомкнутой системы, — двукратный нуль. Определим величину а. При увеличении k на двукратный нуль превратится в два

комплексно-сопряженных: . В уравнении (4.36) ввиду малости заменим их тангенсами, тогда получим

Сокращая со, определим величину а.

8. Ветви корневого годографа, совпадающие с отрезками действительной оси, располагаются в тех ее частях, справа от которых находится нечетное число действительных нулей и полюсов разомкнутой системы. Это свойство является следствием уравнения (4.36).

9. При часть ветвей корневого годографа отклоняется влево от мнимой оси, а другие — вправо. В [9] показано, что при оценке переходных процессов можно учитывать лишь те ветви годографа, которые отклоняются вправо. Те из них, которые располагаются ближе к мнимой оси, называются доминирующими. Иначе говоря, система порядка в динамике будет вести себя как эквивалентная система более низкого порядка, нули и полюсы которой совпадают с группой нулей и полюсов, наиболее близких к мнимой оси и началу координат плоскости

10. Углы выхода из комплексного полюса и углы входа в комплексный нуль определяют из уравнения фаз (4.36), записанного для этого полюса или нуля, т. е.

Рассмотрим пример построения корневого годографа с использованием перечисленных выше свойств.

Пример 4.2. Пусть известна передаточная функция разомкнутой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы

Передаточная функция разомкнутой системы имеет нули: и полюсы:

Расположение нулей и полюсов на плоскости s показано на рис. 4.13. Число ветвей корневого годографа равно 4 (свойство 2). Согласно этому свойству, при ветви начинаются в полюсах и (свойство 4) одна ветвь стремится из полюса в нуль а из полюса стремится в бесконечность по действительной оси (рис. 4.14).

Рис. 4.13

Рис. 4.14

Определим число асимптот: (свойство 5). Определим координату пересечения асимптоты с действительной осью,

и углы асимптот:

где (рис. 4.15).

Определим точки пересечения с мнимой осью (свойство 6). По критерию Гурвица, для уравнения

уравнение границы устойчивости

Отсюда а граничная частота (рис. 4.16).

Определим углы выхода годографа из полюсов (свойство 10):

Углы указаны на рис. 4.13:

Рис. 4.15

Чтобы определить при полюсы на вещественной отрицательной полуоси (чисто мнимые уже определены: воспользуемся свойством корней (свойство Виета).

Так как

Так как

Решаем систему уравнений:

Если необходимо повысить точность расчетов, то нужно использовать уравнение (4.36).

Рассмотрим еще один метод построения корневых годографов, предложенный Э. Г. Удерманом [6, 9]. В предлагаемом методе для построения корневого годографа используется кривая D-разбиения в плоскости варьируемого параметра с помощью годографа затухания.

Выделим в характеристическом уравнении замкнутой системы варьируемый параметр А. Тогда характеристическое уравнение

Уравнение кривой D-разбиения в плоскости параметра А

Уравнение (4.42) позволяет в комплексной плоскости А выделить область устойчивости системы, т. е. ту область, где корни уравнения с имеют отрицательную вещественную часть.

Рис. 4.16

Рис. 4.17

Удерманом введено понятие годографа затухания [91.

Годографы затухания — линии постоянной частоты и переменного затухания в плоскости варьируемого параметра А, т. е. годографы затухания — это отображения линий, перпендикулярных мнимой оси в плоскости корней а так как кривая D-разбиения является конформным отображением мнимой оси на плоскости параметра то годографы затухания ортогональны кривой D-разбиения (рис. 4.17). — это отрезок устойчивости.

Из точек (на кривой D-разбиения) проведены три годографа затухания до пересечения с отрезком устойчивости в точках . В точке характеристическое уравнение имеет в числе прочих пару комплексно-сопряженных корней при . В точке при корни . В точке при корни Таким образом, можно построить доминирующие ветви корневого годографа при изменении значения параметра А.

В [91 показано, что для определения величины а в точках пересечения годографа затухания с отрезком устойчивости нужно оценить отрезок кривой D-разбиения в единицах частоты. Тогда Аналогично поступают для точек

Для построения корневого годографа нужно в (4.42) заменить s на

Используя разложение в ряд Тейлора для полиномов можно представить [9] как

где

Чтобы определить действительные корни характеристического уравнения нужно использовать (4.44) при о) — 0.

Пример 4.3. Дана передаточная функция разомкнутой системы

где

Варьируемый параметр в данном случае к. Характеристическое уравнение замкнутой системы

Уравнение кривой D-разбиения (рис. 4.18) в плоскости к

В соответствии с (4.44) запишем выражение для

Тогда

Если принять то получим уравнение кривой -разбиения Проведем из точки соответствующей частоте годограф затухания до пересечения с отрезком устойчивости . В точке определим значение Аналогично, для годографа затухания из точки (рис. 4.18, а).

Рис. 4.18

Вычислим значения к, принимая (точка ); (точка ). При этом получим значения близкие к рассчитанным выше.

Чтобы определить корни характеристического уравнения подставим в выражение для значение

По полученным данным можно построить доминирующие ветви корневого годографа (рис. 4.18, б).

Можно отметить, сравнивая рассмотренные методы, что метод Ивенса требует меньше времени для вычислений, чем метод Удермана, не требующий поиска. Существуют и другие методы построения корневых годографов, например с использованием логарифмических частотных характеристик. Аналитические методы построения требуют использования вычислительных машин для расчетов, но дают высокую точность.

Построение корневого годографа — это только первый этап анализа или синтеза автоматического регулирования. Как было упомянуто в начала параграфа, по корневому годографу можно судить о качестве регулирования (о реакции системы на типовое воздействие) и о выборе необходимых корректирующих устройств.

Задаваясь значением варьируемого параметра системы, можно вычислить ее переходную характеристку используя формулы разложения Хевисайда.

Для случая простых (некратных) корней переходную характеристику вычисляют по формуле (4.15), которую можно записать в более удобной для вычисления форме [9]. Запишем характеристический полином системы в виде произведения двучленов: где

его корни. Определим производную принимая для простоты

Подставляя в это выражение обратим в нуль все слагаемые, кроме первого, при — все, кроме второго, при — все, кроме третьего. Таким образом, значение производной при будет равно произведению сомножителей

Заменяя в (4.15) полученным выражением, можно написать следующую формулу для вычисления характеристики:

Этим выражением удобно пользоваться, располагая построенными корневыми годографами, определяя значения длин и аргументов векторов по чертежу годографа. Подробнее с упомянутыми вопросами можно ознакомиться в [9].