§ 3.4. Условия устойчивости линейных систем автоматического управления

Покажем, как на основе изложенного выше определения устойчивости А. М. Ляпунова можно найти условия устойчивости линейных (линеаризованных) систем автоматического управления.

Дифференциальное уравнение линейной системы автоматического управления, записанное для регулируемой выходной величины при наличии управляющего воздействия имеет вид

где — постоянные коэффициенты, — оператор дифференцирования.

Изменение регулируемой величины при произвольном внешнем воздействии представляет собой решение уравнения (3.21):

В (3.22) первое слагаемое — вынужденная составляющая, имеющая тот же характер, что и правая часть уравнения (3.21). Она определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3.21) с правой частью:

Второе слагаемое свободная (переходная) составляющая, которая определяется общим решением однородного дифференциального уравнения (3.21) без правой части:

Обычно в теории автоматического управления интересуются устойчивостью вынужденной составляющей переходного процесса. Поэтому за невозмущенное движение системы необходимо принять вынужденную составляющую переходного процесса Тогда возмущенным движением будет любое возможное в системе изменение регулируемой величины , а отклонением или вариацией — свободная составляющая

Возмущениями, по А. М. Ляпунову, являются начальные значения которые возникли в момент, под действием внезапно подействовавших дополнительных внешних сил, т. е. начальные значения Дифференциальными уравнениями возмущенного движения первого приближения в данном случае будут уравнения (3.24).

В соответствии с определением устойчивости по А. М. Ляпунову система будет асимптотически устойчивой, если с течением времени при свободная составляющая будет стремиться к нулю, т. е. Чтобы найти эту составляющую, необходимо решить дифференциальное уравнение (3.24):

Решение уравнения (3.25) находят как Дифференцируя это выражение раз и подставляя в (3.25), после сокращения на общий множитель получаем

Полученное алгебраическое уравнение (3.26) называют характеристическим уравнением. Его корни будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно заметить, что по своему виду левая часть уравнения (3.26) совпадает с дифференциальным оператором при выходной величине в уравнении (3.21), поэтому характеристическое уравнение получают обычно, приравнивая к нулю дифференциальный оператор при выходной величине в исходном дифференциальном уравнении (3.21), т. е.

Рис. 3.4

Следует заметить, однако, что в характеристическом уравнении (3.27), означает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число.

Решение характеристического уравнения степени содержит корней. Корни характеристического уравнения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть вещественными, комплексными попарно сопряженными, мнимыми попарно сопряженными, нулевыми. В общем случае

На рис. 3.4 показаны возможные положения корней в комплексной плоскости корней s при

Если все корни разные, то их называют простыми. Если среди корней есть одинаковые, то их называют кратными.

Обычно корни с отрицательными вещественными частями принято называть левыми, поскольку они в комплексной плоскости корней расположены слева от мнимой оси, а корни с положительными вещественными частями — правыми корнями.

Условие устойчивости линейной системы формулируется следующим образом: для того чтобы линейная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения (3.27) были левыми.

Указанное условие устойчивости легко пояснить, рассматривая решение однородного уравнения (3.25), которое при отсутствии кратных корней имеет вид

где — корни характеристического уравнения (3.27); С — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Заметим, что корни характеристического уравнения зависят только от вида левой части дифференциального уравнения (3.21) линейной системы. Постоянные интегрирования С; зависят и от вида правой ее части, поэтому быстота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения (3.21). Однако, поскольку в понятие устойчивости входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса, устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (3 21) и определяется только характеристическим уравнением (3.27).

При составлении (3.21) предполагалось, что внешние возмущающие воздействия отсутствуют. Если записать дифференциальные уравнения движения системы относительно возмущающего воздействия, то в этом случае левая часть (3.21) остается без изменения, а правая будет иметь другой вид. Так как характер переходного процесса в линейной системе определяют только по виду левой части дифференциального уравнения (3.21), то для определения качественной картины переходных процессов практически безразлично, записать ли исходное дифференциальное уравнение для управляющего или возмущающего воздействия.

Вещественным корням характеристического уравнения в (3.29) соответствуют слагаемые, представляющие собой экспоненты

Очевидно, что отрицательным (левым) корням соответствуют затухающие экспоненты (рис. 3.5, а), положительным (правым) корням — возрастающие экспоненты (рис. 3.5, б) и при нулевых корнях слагаемые представляют собой прямые, параллельные оси времени (рис. 3.5, в).

Комплексные кории характеристического уравнения всегда бывают попарно сопряженными: Слагаемые, определяемые этими корнями в (3.29), могут быть при использовании известной формулы Эйлера представлены в виде где А, и — новые постоянные.

В этом случае при получаются затухающие колебания (рис. 3.5, г), при — расходящие колебания (рис. 3.5, д) и при — незатухающие колебания (рис. 3.5, е). Для устойчивости и в этом случае необходимо выполнение условия . В самом общем случае среди корней характеристического уравнения (3.27) могут быть кратные корни. Если имеется кратных корней то в (3.29) появятся слагаемые вида

Если корень имеет отрицательную вещественную часть то множитель будет с течением времени убывать. Множитель в скобках неограниченно растет, поэтому мы имеем неопределенность Однако известно, что быстрее стремится к нулю, чем выражение поэтому при эта группа слагаемых с течением времени также стремится к нулю.

Рис. 3.5

Таким образом, видно, что в самом общем случае для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (3.27) были левыми.

Вычисление корней просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степеней. Существуют общие выражения для корней уравнений третьей и четвертой степеней, но эти выражения громоздки и практически малопригодны. Общие выражения для корней уравнений более высоких степеней вообще невозможно написать через коэффициенты характеристического уравнения. Поэтому важное значение приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только установить, устойчива система или нет, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.

Критерии устойчивости могут быть разделены на алгебраические и частотные. С математической точки зрения все критерии

устойчивости эквивалентны, однако целесообразный выбор того или иного критерия устойчивости при решении конкретных задач позволяет провести исследование устойчивости наиболее простым путем.