Критерий устойчивости Найквиста.

Этот частотный критерий устойчивости, разработанный в американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы

Подставляя в получаем частотную передаточную функцию разомкнутой системы:

где — действительная и мнимая части частотной передаточной функции соответственно; модуль и фаза частотной передаточной функции равны

Если изменять частоту от до то вектор будет меняться по величине и фазе. Кривую, описываемую концом этого вектора в комплексной плоскости, называют

Рис. 3.12

амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы (рис. 3.12).

Амплитудно-фазовая характеристика симметрична относительно вещественной оси, поэтому обычно вычерчивают только ту часть ее, которая соответствует положительным частотам (сплошная линия на рис. 3.12), а ветвь этой характеристики, соответствующая отрицательным частотам (пунктирная линия на рис. 3.12), может быть найдена как зеркальное отражение ветви, соответствующей положительным частотам, относительно вещественной оси.

Рассмотрим вспомогательную функцию

где характеристический полином. замкнутой системы; — характеристический полином разомкнутой системы; — полином степени .

Заметим, что так как в реальных системах степень полинома не выше степени полинома то степени числителя и знаменателя дроби (3.67) одинаковы и равны

Подставляя в получим

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет правых корней и левых корней, а характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет I правых и левых корней.

При изменении частоты от до изменение угла поворота вектора на основе принципа аргумента будет

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, т. е. Отсюда суммарный поворот вектора устойчивой системы вокруг начала координат должен быть равен

где I — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Обычно рассматривают только положительные частоты в этом случае угол поворота вектора будет вдвое меньше, т. е.

Таким образом, если разомкнутая система является неустойчивой и имеет I правых корней, то замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика вспомогательной функции при изменении частоты от 0 до то охватывает начало координат в положительном направлении 1/2 раз.

Легко заметить, что число оборотов вектора вокруг начала координат равно числу оборотов вектора вокруг точки

На основании сказанного вытекает следующая формулировка критерия устойчивости Найквиста: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то, для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы при изменении частоты «о от 0 до охватывала точку в положительном направлении 1/2 раз, где I — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рис. 3.13, а показана амплитудно-фазовая характеристика а на рис. 3.13, б — амплитудно-фазовая характеристика соответствующие устойчивой замкнутой системе, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и имела число правых корней Обычно в реальных системах и поэтому

При сложной форме характеристики могут возникнуть затруднения при определении числа ее оборотов вокруг критической точки . В этом случае для суждения об устойчивости удобно применять «правило переходов», предложенное Я. 3. Цыпкиным.

Назовем переход характеристики через отрезок вещественной оси слева от точки т. е. через отрезок при возрастании со положительным, если он происходит сверху вниз, и отрицательным, если он происходит снизу вверх. Если характеристика начинается на отрезке при или заканчивается на нем при то в этих случаях считают, что она совершает полперехода.

Тогда критерий Найквиста можно сформулировать так: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то, для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через отрезок вещественной оси при изменении частоты от 0 до была равна 1/2, где I — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Если система автоматического управления в разомкнутом состоянии устойчива, т. е. то приращение аргумента вектора равно нулю:

Это означает, что для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы амплитудно-фазовая характеристика не охватывала начало координат (рис. 3.14, а), а амплитуднофазовая характеристика не охватывала точку с координатами (рис. 3.14, б).

Таким образом, для этого наиболее часто встречающегося на практике случая получаем следующую формулировку критерия Найквиста: если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматического

Рис. 3.13

Рис. 3.14

управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку

Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутых статических систем автоматического управления при изменении частоты от до образуют замкнутый контур. У астатических разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие звенья, амплитудно-фазовые характеристики не образуют замкнутого контура. Для таких систем характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет корни, равные нулю, и может быть записано в виде

где — порядок астатизма; — полином, не имеющий корней, равных нулю.

Частотная передаточная функция разомкнутой астатической системы, содержащей интегрирующие звенья,

При частотная передаточная функция астатической системы обращается в а ее амплитудно-фазовая характеристика претерпевает разрыв. Поэтому в этом случае трудно решить вопрос об устойчивости замкнутой системы, так как неясно, охватывает ли амплитудно-фазовая характеристика точку

Векторы при изменении частоты от до то изменяют при переходе через начало координат фазовый угол скачком до но в каком направлении происходит их поворот в момент перехода через начало координат, сказать невозможно. Чтобы освободиться от этой неопределенности,

идя по мнимой оси при изменении частоты от до обходят начало координат в плоскости корней справа по полуокружности бесконечно малого радиуса т. е. считают

Тогда все нулевые корни дадут точно такой же угол поворота, как левые корни, т. е. каждый из векторов повернется на , и формулы (3.54) и (3.55) сохраняют свою силу.

Обходу начала координат по малой дуге в плоскости корней соответствует передаточная функция разомкнутой системы

где — свободные члены полиномов

При модуль а аргумент меняется до при изменении до Таким образом, во время движения по полуокружности бесконечно малого радиуса в плоскости корней частотная передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на комплексной плоскости по часовой стрелке на угол, равный -

При изменении от 0 до т. е. при частотная передаточная функция будет изменяться по дуге бесконечно большого радиуса, описывая угол от 0 до На рис. 3.16 показана амплитудно-фазовая характеримтика

Рис. 3.15

Рис. 3.16

Рис. 3.17

Рис. 3.18

разомкнутой астатической системы с астатизмом первого порядка

На основе сказанного выше для определения устойчивости систем с астатизмом любого порядка достаточно построить одну ветвь амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, соответствующую положительным частотам, дополнить ее дугой — окружности бесконечно большого радиуса и затем применить критерий устойчивости Найквиста.

Например, если разомкнутая астатическая система неустойчива, то замкнутая система будет устойчива, если при изменении частоты от 0 до амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой астатической системы дополненная дугой — бесконечно большого радиуса, охватит точку в положительном направлении 1/2, раз, где — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рис. 3.17 приведена амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы с астатизмом второго порядка Замкнутая система в этом случае будет неустойчива, так как амплитудно-фазовая характеристика дополненная дугой — бесконечно большого радиуса, всегда охватывает точку в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

На рис. 3.18 приведена амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы с астатизмом второго порядка, которая после дополнения ее дугой бесконечно большого радиуса не охватывает точку (число положительных и отрицательных переходов через отрезок равно нулю). Следовательно, замкнутая система будет устойчива.

Одним из достоинств критерия. Найквиста является то, что он может быть применен и в тех практически важных случаях, когда неизвестны уравнения некоторых звеньев системы либо даже неизвестно уравнение всей разомкнутой системы в целом, но амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы может быть получена экспериментально. Кроме того, критерий Найквиста позволяет, как это будет показано ниже, довольно просто исследовать устойчивость систем с запаздыванием.

Так как параметры системы определяют обычно приближенно и в процессе работы они могут изменять свое значение, то важна оценка удаления амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы от точки Это удаление определяет запас устойчивости, который характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по фазе и запасом устойчивости по амплитуде.

Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла для частоты сос, при которой по амплитуде — как величину отрезка оси абсцисс заключенного между критической точкой и амплитудно-фазовой характеристикой (рис. 3.19).

С ростом коэффициента усиления разомкнутой системы модуль амплитуднофазовой характеристики также растет и при некотором значении коэффициента усиления называемого критическим коэффициентом усиления, амплитудно-фазовая характеристика пройдет через точку т. е. система будет на границе устойчивости. При система будет неустойчива.

Рис. 3.19

Рис. 3.20

Однако встречаются системы (с внутренними обратными связями), в которых потеря устойчивости может произойти не только при увеличении коэффициента усиления, но также и при его уменьшении. Этим случаям могут соответствовать так называемые клювообразные амплитудно-фазовые характеристики (рис. 3.20). В этих случаях запас устойчивости по амплитуде определяется величинами двух отрезков оси абсцисс, заключенных между критической точкой и амплитудно-фазовой характеристикой.

Чтобы система обладала требуемым запасом устойчивости при заданных величинах , около критической точки вычерчивается некоторая запретная область в виде сектора, ограниченного величинами в которую амплитудно-фазовая характеристика не должна входить (рис. 3.20).