§ 3.6. Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка, а также имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность.

Принцип аргумента. В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие из известного в теории функций комплексного переменного принципа аргумента, который кратко излагается ниже.

Пусть дан некоторый полином степени Этот полином в соответствии с теоремой Безу можно представить в виде где — корни уравнения .

На комплексной плоскости s каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке (рис. 3.6, а). Длина этого вектора равна модулю комплексного числа а угол, образованный

вектором с положительным направлением действительной оси, — аргументу или фазе комплексного числа

Величины геометрически изображаются векторами, проведенными из точки к произвольной точке s (рис. 3.6, б). В частном случае при получим

Концы элементарных векторов будут находиться на мнимой оси в точке (рис. 3.6, в).

В выражении представляет собой вектор, разный произведению элементарных векторов и действительного числа

Модуль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов и

а аргумент или фаза его равна сумме аргументов элементарных векторов:

Условимся считать вращение против часовой стрелки положительным. Тогда при изменении от до каждый элементарный вектор повернется на угол , если его начало, т. е. корень расположено слева от мнимой оси, и на угол — , если корень расположен справа от мнимой оси (рис. 3.7).

Предположим, что полином имеет правых корней и левых.

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Рис. 3.8

Тогда при изменении от до изменение (приращение) аргумента вектора равное сумме углов поворота векторов равно

Отсюда вытекает следующее правило: изменение (приращение) аргумента при изменении частоты от до равно разности между числом левых и правых корней уравнения умноженной на

Очевидно, что при изменении частоты от 0 до изменение аргумента вектора будет вдвое меньше:

Каждый из векторов соответствующих вещественным корням, повернется теперь на угол или

Векторы которые составляют пару, соответствующую; например, двум комплексно-сопряженным корням, повернутся: один — на угол а другой — на где V — угол, образованный вектором, проведенным от корня в начало координат, с осью абсцисс Общее приращение аргумента произведения этих векторов при изменении от 0 до равно

В основу всех частотных критериев устойчивости положено уравнение (3.54), определяющее приращение аргумента при изменении от до или (3.55) - при изменении от 0 до