§ 6.4. Матричный критерий устойчивости, не связанный с обращением матрицы

Вычислительные трудности, связанные с нахождением коэффициентов характеристического полинома по исходной матрице А уравнений переменных состояний пробудили интерес к машинно-ориентированным методам анализа устойчивости, в которых отсутствуют не только операция построения характеристического полинома, но и операция обращения матрицы. Операции обращения, где это возможно, желательно избегать.

В матричном критерии (6.13) в функционально-преобразованную матрицу В входит обратная матрица. Ее появление связано с использованием дробно-линейного преобразования (6.9). Рассмотрим подход в общем случае, устраняющий операцию обращения.

Вообразим себе, что мнимая ось является окружностью бесконечного радиуса. «Изогнув» ее, получим окружность конечного радиуса. Таким образом приходим к идее охвата области расположения спектра матрицы А кругом. В дальнейшем такой круг отображается на единичный круг с центром в начале координат комплексной плоскости или на некоторую область, расположенную внутри этого круга.

Пусть на плоскости s имеется круг радиуса в котором содержатся все собственные числа матрицы А. Центр круга находится на вещественной отрицательной полуоси в точке Отобразим круг в левой полуплоскости на единичный круг плоскости с помощью функции

Подставим значение (6.21) в характеристическое уравнение (6.7). После несложных преобразований получим

где

Тогда если все собственные числа матрицы А находятся внутри круга радиуса в левой полуплоскости комплексного переменного то все собственные числа функционально-преобразованной матрицы В лежат внутри круга единичного

радиуса с центром в начале координат на плоскости комплексного переменного , т. е.

Имеет место следующее утверждение: для того чтобы все собственные числа исходной матрицы коэффициентов А системы (6.7) находились внутри заданного круга радиуса расположенного в левой полуплоскости и имеющего центр в точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

где — нулевая матрица.

Таким образом, условие принадлежности всех собственных чисел матрицы А кругу радиуса расположенному в левой полуплоскости, сводится к возведению функционально-преобразованной матрицы В в степень и к изучению последовательности степеней по нормам и модулю следа. Аналогично может быть построен критерий с учетом произвольной степени устойчивости .

Пусть задан круг с центром в точке , в котором находятся все собственные числа матрицы А (рис. 6.1). Отображая этот круг на единичный круг с центром в начале координат, можно построить функционально-преобразованную матрицу.

Для того чтобы все собственные числа матрицы А системы (6.7) лежали в левой полуплоскости внутри круга радиуса с центром в точке необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось требование

где

Первоначальное значение радиуса может быть выбрано исходя из свойств конкретной исследуемой системы, когда представляется каким-либо образом косвенно оценить частоту колебаний

Рис. 6.1

в ней, а также по нормам матрицы А или на основе методов локализации. Слишком большие первоначальные значения радиуса приводят к аннулированию элементов матрицы ввиду выхода числа за пределы разрядной сетки машины. Например, если элементы матрицы А достаточно малы, то деление на большое значение еще более уменьшает их, что и приводит в отдельных случаях к выходу числа за пределы разрядной сетки. Тот предел, при котором происходит аннулирование отдельных элементов матрицы А, определяет верхнюю границу величины радиуса

Большие значения радиусов удлиняют время решения задачи, так как увеличивают число шагов при исследовании каждой точки пространства параметров в раз. Так, увеличение радиуса в раз требует дополнительно 10 шагов, что соответствует операциям умножения.

Центр круга, охватывающий область расположения всех собственных чисел матрицы А, отнесен влево на величину поэтому касательные, проведенные из начала координат к окружности, приближенно характеризуют колебательность в системе (рис. 6.1).

Показатель колебательности выражается тангенсом угла наклона касательной

Выполнив несложные преобразования, показатель колебательности можно представить как

где

Из формулы следует, что показатель колебательности зависит от отношения двух величин: радиуса круга охватывающего все собственные числа матрицы А, и степени устойчивости .

В большей части практических расчетов на ЦВМ пределы изменения показателя колебательности составляют от 1 до

Кругами подходящего радиуса можно ограничить интересующую проектировщика область расположения всех собственных чисел и исходной матрицы коэффициентов А в левой полуплоскости. Однако при возведении матрицы в степень возможен колебательный характер сходимости. Этот эффект

имеет место тогда, когда какое-либо из собственных чисел матрицы А достаточно близко расположено от границы круга.

Для устранения этого нежелательного явления можно использовать функционально-преобразованные матрицы, соответствующие нелинейному отображению охватывающего спектр круга.

Рассмотрим матричный степенной ряд

Если для отображения круговой области расположения всех собственных чисел матрицы А использовать три или четыре члена ряда (6.25), то явление «колебательности» подавляется.

При использовании первых трех членов ряда (6.25) функционально преобразованная матрица имеет вид

В этом случае оценивается принадлежность спектра матрицы кругу радиуса с центром в точке [0,5; 0] комплексной плоскости (рис. 6.2, а).

Для того чтобы спектр матрицы А системы (6.7) находился внутри круга радиуса с центром в точке комплексной плоскости необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицы располагался внутри круга радиуса вложенного в единичный круг с центром в начале координат. Круг симметричен относительно оси абсцисс и имеет общую точку [1, 0] с единичным кругом.

Рис. 6.2

При использовании четырех членов ряда (6.25) окружность радиуса комплексной плоскости s переходит в алгебраическую кривую третьего порядка, вложенную в единичный круг комплексной плоскости . Эта кривая пересекает оси в точках [1/3, 0] и [1, 0] (рис. 6.2, б). Функционально-преобразованная матрица имеет вид

При использовании пяти членов ряда (6.25) осуществляется отображение круговой области отображения спектра на внутренность области, ограниченной алгебраической кривой четвертого порядка — конхоидой с круговым базисом (улиткой Паскаля). Эта кривая (рис. 6.2, в) имеет общую точку с единичным кругом и целиком находится в правой его половине. Функционально-преобразованная матрица имеет вид

Функционально-преобразованным матрицам может быть поставлен в соответствие скалярный ряд

При т. е. при рассмотрении первых двух членов, имеет место линейное преобразование. При имеет место нелинейное преобразование. Известно, что всякая квадратная матрица является элементом кольца. Это позволяет заменить скалярную величину s матрицей А. При такой замене надо соблюдать два условия: 1) следить за порядком следования сомножителей, так как в общем случае кольцо матриц некоммутативно; 2) следить за операцией деления, так как не всякая матрица имеет свою обратную. В данном случае каждая матрица коммутирует с собой и со своей целой произвольной положительной степенью и эти условия автоматически соблюдаются.

Можно показать, что функционально-преобразованные матрицы полученные при круговом охвате и отображении спектральной области матрицы А, приближают матричную

экспоненту входящую в решение однородной системы

Алгоритм построения процессов с равномерным шагом имеет вид

При использовании матрицы порядок ошибки составляет —

Так, при введении матрицы порядок погрешности соответствует методу Эйлера, при введении матрицы соответствует методу Эйлера—Коши, т. е. при использовании матрицы — методу Рунге—Кутта четвертого порядка, т. е. порядок погрешности составляет .

При построении процессов в однородной системе с прогрессивно увеличивающимся шагом алгоритм имеет вид

где — вектор начальных условий.

Таким образом, в матричных критериях, основанных на построении и исследовании функционально-преобразованных матриц, заложены возможности не только анализа устойчивости, но и построения переходных процессов, удовлетворяющих заданным начальным условиям. В определенной степени трудоемкость компенсируется увеличением полезной информации.

Алгоритм позволяет анализировать устойчивость нестационарных систем прямым построением процессов, а также выявлять временную работоспособность системы на конечном интервале времени. В нестационарных системах функционально-преобразованная матрица перестраивается на каждом шаге. Алгоритм построения процессов в однородной нестационарной системе имеет вид

где — функционально-преобразованная матрица, формируемая на каждом шаге А в соответствии с изменением исходной матрицы

Выбор шага осуществляется по радиусу круга, охват тывающего все собственные числа матрицы А. Величина является шагом интегрирования, она может изменяться в широких пределах, при этом основным условием является нахождение всех собственных чисел матрицы внутри круга радиуса Таким образом, увеличивая длину шага, мы можем ускоренно строить переходные процессы, при этом вычислительная

тельная устойчивость сохраняется и качественная картина процессов, несмотря на рост погрешности, не изменяется.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение алгоритмов.

Пример 8.2. Рассмотрим систему

Начальные условия

Требуется найти решение, которое определяет собственное движение (устойчивость) системы. В качестве матрицы выберем матрицу

Матрица А и вектор начальных условий имеют вид

Круг радиуса , где — норма матрицы, примем равным 10. Шаг Если шаг принять равным то масштаб времени уменьшается и потребуется большее количество вычислений. При матрица имеет вид

Для получения решения можно использовать любую из формул

Решение в момент времени с имеет вид

В момент времени

и далее

Решение системы приведено на рис. 6.3.

Рис. 6.3

Пример 8.3. Рассмотрим однородную нестационарную систему

где

Вектор начальных условий

Требуется построить решение системы на промежутке секунд, используя функционально-преобразованную матрицу Положим При имеем

Выполним вычисления в соответствии с алгоритмом:

Рис. 6.4

В моменты времени значения вектора следующие:

Дальнейший ход процессов изображен на рис. 6.4.