D-разбиение по одному (комплексному) параметру.

Предположим, что требуется выяснить влияние на устойчивость какого-либо параметра линейно входящего в характеристическое уравнение. Для этого сначала характеристическое уравнение приводят к виду

где — полином, не зависящий от — полином, содержащий множителем.

Граница D-разбиения определяется уравнением

откуда

Так как изменяемый параметр в линейных системах является не комплексным, а вещественным числом (коэффициент усиления, постоянная времени и т. то (3.82) следовало бы дополнить условием Однако при первоначальном построении не будем делать этого ограничения и будем временно считать изменяемый параметр комплексной величиной отмечая это чертой сверху, чтобы отличить ее от вещественного значения

Давая со значения от до можно по (3.82) вычислить и построить на комплексной плоскости границу D-разбиения.

При построении границы D-разбиения достаточно построить ее для положительных значений со и затем дополнить зеркальным отображением построенного участка относительно, действительной оси (рис. 3.24, б).

Если при изменении от до в плоскости корней двигаться по мнимой оси и штриховать ее слева (рис. 3.24,а), то такому движению в плоскости соответствует движение по границе D-разбиения, которую также штрихуют слева по обходу при изменении от до (рис. 3.24, б).

Если в плоскости пересекать границу D-разбиения по направлению штриховки (стрелка то в плоскости корней один из корней переходит из правой полуплоскости в левую. Если же в плоскости пересекать границу D-разбиения против штриховки (стрелка 2), то в плоскости корней, один из корней переходит из левой полуплоскости в правую.

Если штриховка двойная (например, в точке пересечения кривых), то мнимую ось пересекают два корня.

Рис. 3.24

Для определения области и в частности области тойчивости достаточно знать распределение корней (т.е. число правых и левых корней) при каком-либо одном произвольном значении параметра Переходя в плоскости от этого параметра к любому другому, по числу пересечений границы D-разбиения, направлению и числу штриховок можно определить значение в любой другой точке.

Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка и которая поэтому соответствует области с наибольшим числом левых корней. Чтобы установить, является ли эта область действительно областью устойчивости, необходимо задаться каким-либо значением лежащим в этой области. Подставив в характеристическое уравнение, нужно, используя любой критерий устойчивости, установить, все ли корни характеристического уравнения будут при этом левыми. Если при этом не все корни будут левыми, то области устойчивости нет, т. е. изменением только параметра нельзя сделать систему устойчивой.

Так как изменяемый параметр является вещественным числом; то из полученной области устойчивости выделяют только отрезок устойчивости, т. е. отрезок вещественной оси, лежащий в области устойчивости, например отрезок на рис.