§ 2.2. Основные свойства преобразования Лапласа

В этом параграфе даны основные сведения о преобразовании Лапласа, которые будут использованы при рассмотрении систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями.

Преобразованием Лапласа называют соотношение

ставящее функции вещественного переменного в соответствие функцию комплексного переменного При этом называют оригиналом, а — изображением

жением или изображением по Лапласу. То, что имеет своим изображением или оригиналом является записывается так:

Иногда также пользуются символической записью

где — оператор Лапласа.

Предполагается, что функция которая подвергается преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами: определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси при существуют такие положительные числа и с, что при Функции, обладающие указанными тремя свойствами, часто называют функциями-оригиналами. Соотношение

определяющее по известному изображению его оригинал (в точках непрерывности последнего), называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой . Символически обратное преобразование Лапласа можно записать так:

где символ — обратный оператор Лапласа.

Остановимся на основных свойствах преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности. Для любых постоянных

2. Дифференцирование оригинала. Если производная является функцией-оригиналом, т. е. обладает указанными выше тремя свойствами, то , где . Если производная является функцией-оригиналом, то

где

Если начальные условия нулевые, т. е. то последняя формула принимает вид Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на

3. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на

4. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа

5. Теорема о свертке (теорема умножения изображений). Если — оригиналы, а — их изображения, то

Интеграл правой части равенства называют сверткой функций и обозначают

6. Теоремы о предельных значениях. Если — оригинал, а — его изображение, то и при существовании предела

7. Теорема разложения. Если функция дробно-рациональна, причем степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя, то ее оригиналом является умноженная на функция

где корни уравнения их кратности и число различных корней. Если все корни уравнения простые, то эта формула разложения принимает вид

где — степень полинома

Пример 2.2. Пусть изображение

Согласно принятому обозначению,

Функция имеет полюсы [корни уравнения ) Полюс является простым, а полюс — кратным, имея кратность Простому полюсу s соответствует слагаемое

кратному полюсу — слагаемое

Поэтому