Линеаризация.

Обычно автоматические системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями. Но во многих случаях можно их линеаризовать, т. е. заменить исходные нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системе. Процесс преобразования нелинейных уравнении в линейные называют линеаризацией.

В атоматических системах должен поддерживаться некоторый заданный режим. При этом режиме входные и выходные величины звеньев системы изменяются по определенному закону. В частности, в системах стабилизации они принимают определенные постоянные значения. Но из-за различных возмущающих факторов фактический режим отличается от требуемого (заданного), поэтому текущие значения входных и выходных величин не равны значениям, соответствующим заданному режиму. В нормально функционирующей автоматической системе фактический режим немного отличается от требуемого режима и отклонения входных и выходных величин входящих в нее звеньев от требуемых значений малы. Это позволяет произвести линеаризацию, разлагая нелинейные функции, входящие в уравнения, в ряд Тейлора. Линеаризацию можно производить по звеньям.

Пример 2.1. Проиллюстрируем изложенное на примере звена, описываемого уравнением (2.1). Пусть заданному режиму соответствуют

Обозначим отклонения реальных значений и, и у от требуемых через . Тогда и Подставим эти выражения в (2.1) и, рассматривая как функцию от независимых переменных , разложим ее в ряд Тейлора в точке (2.3) и отбросим малые члены более высокого порядка, чем отклонения. Тогда (2.1) примет вид

Здесь звездочка сверху обозначает, что соответствующие функции и производные вычисляются при значениях аргумента, определяемых соотношениями (2.3). Когда в системе устанавливается заданный режим, уравнение (2.1) принимает вид . Вычтя это уравнение из (2.4), получим искомое уравнение звена в отклонениях:

где

Если время t явно не входит в исходное уравнение (2.1) и, кроме того, заданный режим является статическим — величины не зависят от времени, то коэффициенты линеаризованного уравнения (2.5) являются постоянными.

Звенья и системы, которые описываются линейными уравнениями, называют соответственно линейными звеньями и линейными системами.

Уравнение (2.5) было получено при следующих предположениях: 1) отклонения выходной и входной величин достаточно малы; 2) функция обладает непрерывными частными производными по всем своим аргументам в окрестности точек, соответствующих заданному режиму. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то линеаризацию производить нельзя. По поводу первого условия необходимо отметить следующее: нельзя раз и навсегда установить, какие отклонения считать малыми. Это зависит от вида нелинейности.

Часто нелинейную зависимость между отдельными переменными, входящими в уравнение звена, задают в виде кривой. В этих случаях линеаризацию можно произвести графически.

Рис. 2.2

Геометрически линеаризация нелинейной зависимости между двумя переменными (рис. 2.2) означает замену исходной кривой А В отрезком ее касательной в точке О, соответствующей заданному режиму, и параллельный перенос начала координат в эту точку.

В зависимости от того, входит или нет время явно в уравнение, системы разделяют на стационарные и нестационарные.

Автоматические системы управления (звенья) называют стационарными если они при постоянных внешних воздействиях описываются уравнениями, не зависящими явно от времени. Это означает, что свойства системы со временем не изменяются. В противном случае система называется нестационарной. Для линейных систем можно дать также следующее определение: стационарными линейными системами (звеньями) называют системы (звенья), которые описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами; нестационарными линейными системами (звеньями) или системами с переменными параметрами — системы (звейья), которые описываются линейными уравнениями с переменными коэффициентами.