Особенности машинных вычислений в задачах автоматического управления.

Успех в решении задач автоматизированного проектирования автоматических систем во многом определяется тем, как в действительности осуществляются действия над числами в ЭВМ. Существенная особенность машинных вычислений — влияние ошибок округления. Как бы точно ни осуществлялись операции над числами, для их представления отводится конечное число знаков и они должны быть округлены.

В современных цифровых ЭВМ расчеты, как правило, выполняются в режиме с плавающей запятой. Это связано с представлением чисел, сильно различающихся по абсолютной величине. Число разрядов в мантиссе достигает 15 и выше (в десятичных знаках), и все же встречаются задачи, где такой точности недостаточно.

Иногда возникает вопрос, почему вообще нужна такая точность вычислений, как 10-12 и выше. В большей части задач науки и техники исходные данные в лучшем случае имеют точность а часто она не достигает и или бывает еще ниже. На раннем этапе создания цифровых вычислительных машин Дж. Нейман показал, что для получения точности конечного результата, равной требуется точность промежуточных вычислений в арифметических операциях . Кроме того, существует эффект усиления ошибок, образовавшихся от предшествующих операций. Это усиление в принципе может быстро покрыть любой разрыв. Например, отношение образуют разрыв . Дж. Нейман

привел пример, когда 425 последовательных операций, каждая из которых усиливает ошибку только на 5%, заполняют этот разрыв. Разумеется, приведенный пример лишь иллюстрирует важность проблемы получения верных результатов в условиях накопления ошибок округления. В действительности в реальных машинах результаты округления не столь неблагоприятны. Все же при решении сложных задач приходится считаться с ошибками накопления в результате округления.

В режиме с плавающей запятой почти во всех случаях происходит округление и в окончательных результатах могут наблюдаться существенные, искажения. Результаты округлений, какими бы малыми они ни были, меняют свойства арифметических операций. Свойства ассоциативности и дистрибутивности не выполняются на существующих ЭВМ. Произведение сомножителей, отличных от нуля, может оказаться равным нулю (это явление известно как «возникновение машинного нуля при умножении»). Свойство коммутативности соблюдается лишь в том случае, если имеет место «правильное» округление [4, 51.

Формирование процесса правильного округления в современных ЭВМ, работающих в двоичной системе счисления, затруднительно. В системе счисления с четным основанием округление реализуется неоднозначно. Считается невозможным построить процесс округления в «классическом» виде, основанный лишь на анализе конца мантиссы, таким образом, чтобы «шибки компенсировали друг друга. Следовательно, на ЭВМ, по существу, реализуются новые операции, лишь приближенно изображающие обычные арифметические операции. Отмеченные особенности не могут быть устранены техническими средствами, хотя точность может быть значительно увеличена. Существуют большие возможности увеличения точности. Они заключаются в применении переменной длины мантиссы, в использовании сокращенных систем счисления (например, троичной).

Распространенным способом анализа точности является решение задачи с обычной и удвоенной точностью. Совпадение результатов указывает на отсутствие ошибок округления, поэтому считается, что остальные вычисления в сходных задачах можно вести с обычной точностью. Такой подход распространен и часто дает удовлетворительные результаты.

Другой подход заключается в использовании специальных программ, позволяющих записывать числа и выполнять

операции над ними с точностью, превосходяще рабочую точность ЭВМ. Такой способ резко увеличивает объем потребного машинного времени и загружает память. В задачах машинного проектирования систем управления этот способ имеет ограниченное применение.

Значительный эффект достигается за счет применения новых вычислительных методов. Изменение вычислительной схемы или использование нового подхода часто дает возможность принципиально решить задачу на ЭВМ. Характерна машинная постановка фильтра Калмана в задачах управления и Навигации. Последовательные вычисления в соответствии с уравнением Калмана не приводят к положительно-полуопределенной матрице ошибок. Причина неудачи кроется в операциях с плохо обусловленными матрицами. Благоприятное изменение вычислительной схемы позволило применить фильтр Калмана в космической системе «Аполлон». Сущность применения вычислительной схемы состояла в использовании метода «квадратного корня матрицы». Использовался тот факт, что квадратный корень матрицы имеет разброс элементов в два раза меньший, чем исходная матрица, и в этом проявляется как бы эффект «удвоения» разрядной сетки.

Характерно получение передаточных функций по обычным правилам преобразования структурных схем. В программе должно быть предусмотрено раскрытие скобок, приведение подобных членов и вычисление коэффициентов по убывающим степеням производной. Некоторые коэффициенты элементарных звеньев малы (как правило, всегда меньше единицы), поэтому возникает опасность превращения в машинный нуль старших коэффициентов характеристического уравнения.

При исследовании системы по уравнениям переменных состояния часто возникает необходимость многократного построения характеристического уравнения по исходным матрицам коэффициентов. Задача является частью «полной проблемы собственных значений» и известна также как проблема построения векового уравнения. Для того чтобы обойти многочисленные трудности, в течение десятилетий создавались различные приемы и методы, подробно изложенные в [151.

В задачах анализа и синтеза автоматических систем часто имеется определенная специфика, не позволяющая в полной мере воспользоваться стандартными программами, в основу которых положены известные методы. Одна группа методов (А. М. Данилевского, А. Н. Крылова, Хессенберга, Самуэльсона и др.) чувствительна к частным особенностям

матрицы, например к «провалам», т. е. к вырождению (в смысле машинной точности) промежуточных определителей. Другая (методы, основанные на идее Леверье) не учитывает быстрый рост погрешности на высоких порядках вследствие накопления ошибок округления, что ограничивает размерность решаемых задач.

Прямые корневые методы, базирующиеся на построении характеристического полинома, также чувствительны к накоплению ошибок округления. Применение их для исследования линейных систем порядка показало, что накопление ошибок округления при построении характеристического полинома и последующее применение корневых методов синтеза часто приводили к совершенно неправильным результатам. Устойчивые системы при определенных сочетаниях параметров трактовались как неустойчивые и, наоборот, неустойчивые рассматривались как устойчивые. Многолетние исследования показали, что при принятой длине разрядных сеток отечественных ЦВМ граница надежной применимости метода Ньютона (и его модификаций) составляет . Если , результаты также получаются, но неопределенность в результатах увеличивается. Они могут быть сильно искажены ошибками округления.

Особенно значительное накопление ошибки проявляется при сильной связи корней полинома с его коэффициентами. Показателен следующий простой пример [11]. Полином отличается от полинома только коэффициентом при Характерно, что это различие весьма незначительно, всего Однако если все четыре корня второго полинома равны единице, то у первого полинома корни таковы: Это значит, что сравнительно незначительное изменение коэффициентов (всего на приводит к существенному изменению корней (уже на 0,03). При степенях полинома порядка 20 и выше может наступить качественное искажение результатов.

Отметим еще одну особенность. Не все традиционные методы теории автоматического управления одинаково хорошо приспособлены к машинной реализации. Затруднения встречаются при реализации D-разбиения, частотных методов, формировании передаточных функций по структурным схемам.

Ценность D-разбиения как метода построения границ области состоит в том, что метод не требует какой-либо направленной процедуры для нахождения первой точки границы,

т. е. является беспоисковым. Поиск, особенно в виде полного или частичного перебора точек плоскости параметров, не всегда является целесообразным из-за затрат машинного времени и отсутствия уверенности, что точка искомой области может быть найдена, если область имеет малые размеры. D-разбиение принципиально позволяет сразу найти границы области устойчивости в плоскости интересующих проектировщика параметров. Однако свойства метода таковы, что помимо действительных кривых, являющихся границами искомой области, появляются «посторонние». «Посторонние» кривые представляют собой границы областей на плоскости параметров, соответствующих одинаковому числу корней, расположенных справа от мнимой оси. Например, одному корню в правой полуплоскости соответствует определенный диапазон изменения параметров на плоскости параметров. Два корня соответствуют другому диапазону изменения параметров, три корня — третьему и т. д. При больших порядках характеристического полинома переплетение истинных и «посторонних» линий может принимать самые причудливые формы и выбор действительных кривых среди большого количества линий оказывается весьма трудной задачей при программировании. При изменении кривые могут претерпевать бесконечные разрывы второго рода и ветви могут уходить в бесконечность.

При ручных расчетах для выделения искомой области служит графическая процедура штриховки по Неймарку. Суть ее состоит в том, что при движении по кривой в сторону возрастания о штриховку наносят слева, если определитель положителен, и справа, если он отрицателен. При изменении от до получается двойная штриховка, так как при изменяется знак определителя системы. Если определитель обращается в нуль, то это приводит к бесконечному разрыву второго рода. Особенности имеются и при штриховке особых прямых. Более подробные сведения об этом можно найти в работах [3, 8].

Штриховка затрудняет полноценную машинную реализацию метода D-разбиения. Выбор действительной области среди претендентов, к тому же часто разбросанных во всех квадрантах, заставляет привлекать алгебраические критерии, методы непосредственного вычисления корней. Недостатком метода является также его недостаточная универсальность. Варьируемые параметры должны входить в коэффициенты характеристического уравнения линейно, возникают трудности при задании расположения корней внутри трапеции, угла или других

фигур в левой полуплоскости. Все же метод D-разбиения является единственным беспоисковым методом и может быть с успехом использован при построении областей устойчивости не только в автоматических системах, но и в численных методах. D-разбиение может также использоваться в качестве параллельного или вспомогательного метода.

Метод D-разбиения можно существенно видоизменить, упростить и сделать более универсальным путем введения полиномов Чебышева. Полиномы Чебышева, обладая свойствами как гармонических, так и ортогональных функций, являются уникальными и как будто специально созданы для применения на ЭВМ. Они, в частности, позволяют вести операции в вещественной арифметике, что само по себе перспективно с точки зрения возможной модификации некоторых традиционных методов, ибо расчеты в комплексной арифметике увеличивают объем вычислений в четыре раза.

Другой пример — автоматизация построения передаточных функций в сложных структурных схемах. Наиболее распространенные алгоритмические языки приспособлены для операций с числами и не вполне подходят для обработки буквенной информации. Новые вычислительные методы, создаваемые на основе графов и структурных чисел, позволяют обойти эти трудности и значительно уменьшить ошибки округления.

Машинная реализация ЛЧХ имеет ряд особенностей. Получение амплитудной характеристики не вызывает затруднений. Трудность кроется в вычислении фазовой характеристики, которая в общем случае находится не только в первом квадранте, т. е. является разрывной. Видоизменение метода частотных характеристик применительно к машинной реализации приводит к предотвращению ложных скачков фазы и в целом повышает информационную ценность метода частотных характеристик. Например, в перспективе оказывается целесообразным строить новые частотные характеристики - изамплиты (линии равных запасов устойчивости по амплитуде) и изофазы (линии равных запасов устойчивости по фазе). Таким образом, машинная ориентация частотных методов приводит к появлению новых способов машинного анализа и синтеза.