§ 4.7. Интегральные оценки качества переходных процессов

Интегральные оценки качества являются интегралами по времени от некоторых функций переходного процесса свободной составляющей выходной величины или ошибки Цель использования таких критериев состоит в том, чтобы получить общую оценку быстродействия и отклонения регулируемой величины от установившегося значения. Широко используются линейные и квадратичные интегральные оценки. Линейные оценки вычисляются по формуле

Рис. 4.19

Рис. 4.20

Однако чаще используют моменты порядка, т. е. оценки вида

Простейшей из этих оценок является Если система устойчива, то интеграл стремится к конечному значению, равному площади под кривой (рис. 4.19). Чем выше быстродействие системы, тем меньше величина поэтому параметры системы следует выбирать так, чтобы стремился к минимуму, т. е. где А — варьируемый параметр системы. Недостатком этой оценки является то, что она применима к монотонным или апериодическим процессам. При колебательном процессе (рис. 4.20) площади, ограниченные складывают алгебраически и минимуму может соответствовать процесс с большим числом колебаний т. е., с малым быстродействием и даже с незатухающими колебаниями.

Для изображение по Лапласу

Сравнивая это выражение с (4.47) для можно записать

Разложим в ряд по степеням

Подставим (4.51) в выражение для определения т. е.

Если разложить степеням s в ряд:

то, сопоставляя (4.52) и (4.53), можно сделать следующее заключение, приравнивая выражения при равных степенях

Если сравнить результаты (4.50), с коэффициентами ошибок, приведенными в § 4.2, то где коэффициенты ошибок.

Квадратичные интегральные оценки вычисляются по формулам

где — постоянные величины.

Оценки называют обобщенными квадратичными ценками.

Геометрический смысл интегральной квадратичной оценки ояснен на рис. 4.21. Выбирая параметры системы по минимуму квадратичной интегральной оценки приближаем кривую к осям

Методы вычисления этих оценок предложены А. И. Манелыптамом и Н. Д. Папалекси в 1909 г. В 1937 г. акад. А. А. [аркевич применил эту оценку для исследования режимов аботы усилителей, в 1948 г. А. А. Красовский и А. А. Фельдаум использовали ее для исследования качества линейных истем автоматического регулирования.

Рассмотрим методы вычисления квадратичных интегральных оценок По определению,

По теореме о предельных переходах,

педовательно,

Поскольку — дробно-ациональная функция, то и можно записать в виде дробно-рациональной функции:

Рис. 4.21

При оценку можно вычислить, используя коэффициенты по формулам, приведенным ниже без вывода [4]:

где — определитель Гурвица, составленный из коэффициентов:

в котором все коэффициенты с меньшим индексом 0 и большим заменяют нулями. Определители получают из (4.62) заменой столбца столбцом .

Коэффициенты определяют как

Интегральную квадратичную оценку можно вычислять по заданной частотной характеристике замкнутой системы.

Пусть — изображение Фурье для функции на основании теоремы свертки в комплексной области для можно записать [7] при

где комплексный коэффициент усиления замкнутой системы.

Таким образом, по (4.64) и (4.65) можно вычислить Выражение (4.64) есть формула Рэлея.

Существуют таблицы расчета интеграла в функции коэффициентов изображения по Лапласу сигнала ошибки для и до . В табл. 4.1 приведены формулы для при

Таблица 4.1

где

При выборе параметров системы по минимуму оценки часто получают нежелательную колебательность процесса, так как приближение процесса к идеальному скачку вызывает резкое увеличение начальной скорости, что, в свою очередь, может вызвать высокое перерегулирование, уменьшив

при этом запас устойчивости. В обобщенных квадратичных оценках накладывают ограничение не только на величину отклонения но и на скорость отклонения а также и на производные второго, третьего и высших порядков в что означает приближение кривой не к ступенчатой функций, а к экспоненте в случае и к более плавной, но сложной кривой в случае использования При выборе параметров САУ по минимуму существен выбор постоянных определяющих вес производных в обобщенных квадратичных оценках (4.58), (4.59). Значительное увеличение приводит к отсутствию перерегулирования, но увеличивает время регулирования. При малых уменьшение колебательности будет незначительным. Выбор осуществляется с учетом постоянной времени экстремали, к которой целесообразно приближать процесс.

Остановимся на методике расчета системы по минимуму обобщенной квадратичной оценки:

Этот интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов:

Если система устойчива, то тогда

Кроме того, интеграл будет иметь минимально возможное значение

при

Если

то решение дифференциального уравнения (4.68)

является оптимальным по минимуму (экстремальным) переходным процессом (где — постоянная времени этого процесса).

При выборе параметров системы по минимуму обычно имеет место отклонение от наименьшего значения

А. А. Фельдбаумом [10] было показано, что переходный процесс будет отличаться от экстремального на величину, меньшую , т. е.

По величине 6 можно оценить отклонение истинного переходного процесса от экстремального (рис. 4.22). При увеличении порядка системы увеличивается и ширина зоны при этом уменьшается точность оценки качества системы (приближения переходного процесса к экстремали); во избежание этого используют оценки вида (4.59). Величину задают по требуемому времени регулирования

Следует заметить, что задача выбора параметров по минимуму или решается аналитически лишь в несложных случаях для САУ невысокого порядка. В противном случае расчеты существенно усложняются и задачу следует решать численно на ЦВМ.

Рассмотрим примеры выбора оптимального значения какого-либо параметра системы по минимуму

Пример 4.4. Вычислить значение коэффициента усиления системы, минимизирующие

Рис. 4.22

мизирующее квадратичную интегральную оценку Известна передаточная, функция разомкнутой системы

где

Входной сигнал — единичная функция Изображение отклонения по Лапласу

где

Воспользуемся формулами для вычисления приведенными в табл. 4.1 для

Определим частную производную:

Определим из Подставляя числовые значения коэффициентов, получим

откуда

Пример 4.5. Определить оптимальное значение коэффициента усиления к, соответствующее минимуму обобщенной квадратичной оценки

Передаточная функция разомкнутой системы .

Входной сигнал — единичная функция Можно представить в виде суммы:

Изображение отклонения по Лапласу

где

Воспользуемся данными табл. 4.1 и определим значение для

Определим изображение производной из свойства преобразований Лапласа:

По теореме о предельном переходе,

Тогда

где

Теперь можно определить интеграл

пользуясь формулой для из табл. 4.1 для

Итак,

Определим из т. е.

откуда

Оптимальный переходный процесс описывается в соответствии с формулой (4.69) выражением

Так как то по (4.66) наименьшее значение оценки Следовательно Согласно (рис. 4.2).

Интегральные оценки качества широко используются при синтезе оптимальных САУ в качестве критерия оптимальности.