Критерий устойчивости Михайлова.

Этот критерий устойчивости, сформулированный в советским ученым А.В. Михайловым, является, по существу, геометрической интерпретацией

принципа аргумента и позволяет судить об устойчивости системы на основании рассмотрения некоторой кривой., называемой кривой Михайлова.

Пусть дано характеристическое уравнение системы (3.30). Левую часть характеристического уравнения называют характеристическим полиномом

Если подставить в этот полином чисто мнимое значение то получим комплексный полином

где

называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова; функции представляют собой модуль и фазу (аргумент) вектора

При изменении частоты со вектор изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом в комплексной плоскости некоторую кривую, называемую кривой (годографом) Михайлова.

В соответствии с (3.55) угол поворота вектора вокруг начала координат при изменении частоты со от 0 до равен

Отсюда определяем число правых корней полинома т. е.

Из (3.59) видно, что число правых корней будет равно нулю при одном-единственном условии

Условие (3.60) является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корней характеристического уравнения

нения были левыми; иначе говоря, среди них не должно быть корней, лежащих на мнимой оси и обращающих в нуль комплексный полином т. е. должно выполняться еще одно условие

Формулы (3.60) и (3.61) представляют математическое выражение критерия устойчивости Михайлова: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова при изменении от 0 до повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки но, угол где — порядок характеристического уравнения.

Заметим, что для устойчивых систем кривая Михайлова начинается при на вещественной положительной полуоси, поскольку при все коэффициенты характеристического уравнения положительны и Кроме того, для устойчивых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами фаза (аргумент) с ростом частоты со должна возрастать монотонно, т. вектор должен поворачиваться только против часовой стрелки, поскольку с ростом частоты монотонно возрастают имеющие одинаковые (положительные) знаки фазы элементарных векторов являющиеся слагаемыми фазы вектора (см. (3.53)).

Учитывая сказанное выше, критерий устойчивости Михайлова можно сформулировать так: для того чтобы, система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова при изменении частоты со от 0 до начинаясь при на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно квадрантов координатной плоскости, где — порядок характеристического уравнения.

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения.

На рис. 3.9 показаны типичные кривые Михайлова для устойчивых систем, описываемых уравнениями, начиная от первого и кончая пятым порядком. Для удобства сравнения коэффициенты во всех случаях приняты одинаковыми.

Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности пройденных кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости, вследствие чего угол поворота вектора оказывается меньше, чем Число правых корней неустойчивой системы можно определить по (3.59).

На рис. 3.10 показаны кривые Михайлова для неустойчивых и нейтральных систем. Рис. 3.10, а — при кривая Михайлова начинается на отрицательной вещественной полуоси; система неустойчива. Рис. 3.10, б — порядок уравнения кривая Михайлова находится вся в одном квадранте (этому соответствует характеристическое уравнение система неустойчива. Рис. в — нарушена последовательность прохождения квадрантов; система неустойчива. Рис. 3.10, г — кривая Михайлова начинается в начале координат, т. е. в характеристическом уравнении имеется по крайней мере один нулевой корень; система находится на границе апериодической устойчивости; небольшая деформация кривой Михайлова (прерывистая линия) делает систему устойчивой. Рис. 3.10, д — кривая Михайлова Проходит при некотором значении частоты через начало координат, т. е. в характеристическом уравнении имеются чисто мнимые корни система находится на границе колебательной устойчивости; небольшая деформация кривой Михайлова делает систему устойчивой (прерывистая линия). Рис. 3.10, е — кривая Михайлова проходит через начало координат, но небольшой деформацией кривой Михайлова удовлетворить условиям устойчивости нельзя; система неустойчива.

Поегроение кривой Михайлова практически производится либо методом контрольных точек, либо методом вспомогательных годографов. Первый метод сводится к определению ряда точек кривой Михайлова, соответствующих фиксированным значениям частоты включая (обязательно) частоты точек пересечения кривой с осями координат, которые находятся как корни уравнений (3.62) и (3.63). При втором методе предварительно определяют годографы отдельных звеньев системы и по ним строят искомую

Рис. 3.9

Рис. 3.10

кривую Михайлова, применяя правила умножения и сложения векторов.

Анализируя годографы Михайлова, можно установить дующее следствие из критерия устойчивости Михайлова. При последовательном прохождении кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости вещественная и мнимая оси пересекаются ею поочередно. В точках пересечения кривой Михайлова с вещественной осью обращается в нуль мнимая функция Михайлова а в точках пересечения кривой с мнимой осью обращается в нуль вещественная функция Поэтому - значения частот, при которых происходит пересечение кривой с вещественной или мнимой осбю, должны являться корнями уравнений

Вещественную и мнимую функции Михайлова можно представить графически в виде кривых (рис. 3.11). Точки пересечения этих кривых с осью абсцисс дают значения корней уравнений (3.62) и (3.63). Если значения есть Корни уравнения (3.63), а — уравнения (3.62), причем

Рис. 3.11

то для устойчивой системы обязательно соблюдение неравенства

В связи с указанным следствием можно привести другую - формулировку критерия устойчивости Михайлова: система, автоматического управления будет устойчива тогда и только тогда, когда вещественная и мнимая функции Михайлова, приравненные нулю, имеют все действительные и перемежающиеся корни, причем общее число этих корней равно порядку характеристического уравнения и при удовлетворяются условия

На рис. 3.11, а приведен пример графиков для устойчивой системы, а на рис. 3.11,б — для неустойчивой системы.

Для уравнений до шестого порядка включительно условие перемежаемости корней дает возможность легко провести аналитическое исследование устойчивости, не вычерчивая кривую Михайлова. При этом обычно определяют только корни уравнения Перемежаемость корней уравнений можно проверить подстановкой в найденных корней уравнения Как видно из рис. 3.11, а, знаки при подстановке возрастающих по абсолютной величине корней должны чередоваться.

Пример 3.6. Определить устойчивость системы, характеристическое уравнение которой

Подставляем и находим вещественную и мнимую функции Михайлова:

Находим корни уравнений откуда

Если перемежаются корни, то перемножаются и их квадраты, поэтому нахождение не обязательно.

Проверим, чередуются ли знаки при подстановке Имеем

Так как все корни вещественны и знаки ординат X (со), соответствующие этим корням, чередуются, то система устойчива.