§ 4.9. Чувствительность систем автоматического управления

Параметры системы автоматического управления в процессе работы не остаются равными расчетным значениям. Это объясняется изменением внешних условий, неточностью изготовления отдельных устройств системы, старением элементов и т. п. Изменение параметров САУ, т. е. изменение коэффициентов уравнений системы, вызывает изменение статических и динамических свойств системы.

Зависимость характеристик системы от изменения каких-либо ее параметров оценивают чувствительностью. Под чувствительностью понимают свойство системы изменять режим работы вследствие отклонения каких-либо параметров от номинальных значений. Для числовой оценки чувствительности используют функции чувствительности, определяемые как частные производные от координат системы или показателей качества процессов управления по вариациям параметров:

где — координаты системы; — параметр системы.

Индекс 0 означает, что функция вычисляется при номинальных значениях параметров.

Система, значения параметров которой равны номинальным и не имеют вариаций, называется исходной системой, а движение в ней — основным движением. Система, в которой имеют место вариации параметров, называются варьированной системой, а движение в ней — варьированным движением. Разность между варьированным и основным движениями называют дополнительным движением.

Допустим, что исходная система описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений

Пусть в некоторый момент времени в системе произошли вариации параметров где тогда параметры станут равными Если вариации параметров не вызывают изменения порядка уравнения, то варьированное движение описывается новой системой уравнений первого порядка

Разность решений уравнений (4.94) и (4.95) определяет дополнительное движение:

Если дифференцируемы по то дополнительное движение (4.96) можно разложить в ряд Тейлора по степеням При малых вариациях параметров ограничимся в разложении лишь линейными членами. Нужно отметить, что в случае конечных вариаций такое приближение недопустимо. Итак, можно записать уравнения первого приближения для дополнительного движения:

Учитывая формулу (4.93), можно записать

Следовательно, располагая функциями чувствительности и задаваясь вариациями параметров, можно определить первое приближение для дополнительного движения.

Продифференцируем уравнения исходной системы (4.94) по

Полученные линейные дифференциальные уравнения (4.99) называются уравнениями чувствительности. Решение их дает функции чувствительности Следует заметить, что в силу

Рис. 4.42

сложности уравнений (4.99) их решение весьма затруднительно.

М. Л. Быховским предложен структурный метод построения модели для определения функций чувствительности [13].

Для определения функций чувствительности можно использовать уравнения системы или ее передаточные функции.

Пусть САУ описывается уравнением

где — собственный оператор системы;

— оператор воздействия

Запишем уравнения чувствительности, продифференцировав (4.100) по

при

По уравнению (4.101) можно представить структурную схему модели чувствительности для определения функции (рис. 4.42). Эту схему можно упростить.

Пусть общей частью операторов является оператор , а операторов — оператор . Тогда можно записать

Подставляя выражения (4.102) и (4.103) в (4.101), можно переписать уравнение чувствительности так:

Структурная схема модели чувствительности в соответствии с (4.104) показана на рис. 4.43. В этой модели выделена

Рис. 4.43

общая часть для определения всех функций Дополнительные блоки модели (рис. 4.43) реализуют операторы , с общей частью они соединены переключателем П. Как видно из схемы рис. 4.43, функция чувствительности координаты х определяется последовательно во времени по всем параметрам. Для одновременного определения всех функций чувствительности по параметрам используем передаточные функции системы [13].

Выходная координата системы связана с задающим воздействием зависимостью

где — передаточная функция системы; — изображение по Лапласу выходной и входной величин.

Определим изображение функции чувствительности дифференцируя (4.105) по

где — передаточная функция элемента, параметром которого является

Рис. 4.44

Обозначим общую часть через тогда

а для функции чувствительности можно записать

или

На рис. 4.44 показана схема модели для одновременного определения функций чувствительности по параметрам Рассмотренный метод позволяет упростить модель чувствительности за счет упрощения общей части модели, в частности общая часть может быть представлена пропорциональным звеном. Подобное упрощение модели используется в беспоисковых системах оптимизаций.