§ 3.9. Устойчивость систем с запаздыванием и систем с иррациональными звеньями

Системы автоматического управления могут содержать звенья, и которых зависимость между входной и и выходной величинами имеет вид

где — постоянная величина, называемая временем запаздывания. Такие звенья называют запаздывающими, так как они воспроизводят изменения входной величины без искажения, но с некоторым постоянным запаздыванием .

Передаточная функция запаздывающего звена (см. § 2.6)

Рис. 3.30

Звенья с чистым запаздыванием часто встречаются в различных технологических процессах, когда материал перемещается из одной точки в другую с помощью ленточных транспортеров; в системах регулирования толщины листа при прокатке; в системах магнитной записи и воспроизведения и т. д.

Системы автоматического управления, содержащие хотя бы одно запаздывающее звено, называют системами с запаздыванием. Процессы в системах с запаздыванием описываются дифференциально-разностными уравнениями.

Во многих тепловых процессах, а также при передаче сигналов на расстояние по длинным электрическим, гидравлическим и другим линиям наблюдается запаздывание, распределенное по всей дайне линии, которое в отличие от чистого запаздывания приводит к искажению передаваемых сигналов. Системы, содержащие звенья с распределенным запаздыванием, требуют для своего описания дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях в результате решения указанных уравнений в частных производных с учетом граничных условий после некоторых упрощающих предположений для системы автоматического управления в целом получают дифференциально-разностные уравнения такого же типа, как и для систем с чистым запаздыванием.

На практике широко применяют аппроксимацию передаточных функций сложных систем с распределением параметрами с помощью передаточных функций систем с сосредоточенными параметрами и эквивалентных постоянных времени чистого запаздывания. Иногда сложные системы высокого порядка с сосредоточенными параметрами, содержащие большое количество инерционных звеньев, также можно заменить для приближенного исследования более простой системой низкого порядка, но содержащей звенья с чистым запаздыванием.

В дальнейшем будем рассматривать только системы с чистым запаздыванием.

Структурная схема одноконтурной системы автоматического управления, содержащей одно запаздывающее звено, может быть представлена либо так, как показано на рис. 3.30, а, если запаздывающее звено находится в прямой цепи, либо так, как показано на рис. 3.30, б, если запаздывающее звено находится в цепи обратной связи.

Передаточная функция разомкнутой системы с запаздыванием равна

где — передаточная функция разомкнутой системы без учета запаздывания, представляющая собой дробно-рациональную функцию оператора

Заметим, что если в одноконтурной системе имеется несколько последовательно соединенных запаздывающих звеньев, то они могут быть заменены одним запаздывающим звеном с эквивалентной постоянной времени запаздывания, равной сумме всех постоянных времен запаздывания.

Если запаздывающее звено находится в прямой цепи, то передаточная функция замкнутой системы

Если же запаздывающее звено находится в цепи обратной связи, то передаточная функция замкнутой системы

Из (3,96 a) и (3.96 б) видно, что независимо от места включения запаздывающего звена характеристическое уравнение системы с запаздыванием имеет вид

Это характеристическое уравнение из-за наличия множителя является не полиномом, а трансцендентной функцией оператора s и в отличие от обыкновенного алгебраического уравнения имеет бесконечное множество корней. Так как

то (3.97) можно рассматривать как уравнение «бесконечной степени».

Для того чтобы линейная система с постоянным запаздыванием была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (3.97) были левыми. Нахождение корней уравнения (3.97) затруднительно, поэтому для исследования

устойчивости систем с запаздыванием используют критерии устойчивости.

Следует иметь в виду, что алгебраические критерии устойчивости Рауса и Гурвица в их обычной форме для исследования систем, с запаздыванием непригодны, причем для устойчивости линейных систем первого и второго порядков с запаздыванием только положительности коэффициентов характеристического уравнения уже становится недостаточно. Существуют различные алгебраические критерии устойчивости для систем с запаздыванием, которые являются аналогами критериев Рауса и Гурвица, однако в инженерной практике они широкого применения не нашли из-за их относительной сложности.

Для исследования устойчивости систем с запаздыванием можно применять основанные на принципе аргумента частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста либо метод С-разбиения.

Уравнение кривой (годографа) Михайлова системы с запаздыванием получают после подстановки в характеристическое уравнение (3.97), т. е.

Наличие в (3.98) множителя делает очертания кривой Михайлова достаточно сложными, и формулировка этого критерия для систем с запаздыванием становится не такой простой, как для обычных систем. Как показал Я- 3. Цыпкин, для исследования устойчивости систем с запаздыванием очень удобно применять критерий устойчивости Найквиста.

Заключение об устойчивости замкнутой системы с запаздыванием делается на основании исследования поведения амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы с запаздыванием относительно точки Формулировка критерия устойчивости Найквиста для систем с запаздыванием в этом случае аналогична формулировке для обычных систем, имеющих дробно-рациональные передаточные функции.

Частотную передаточную функцию разомкнутой системы с запаздыванием находят, подставляя в (3.95):

где — амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы без учета запаздывания;

амплитудно-частотная характеристика; фазочастотная характеристика разомкнутой системы без учета запаздывания;

— фазочастотная характеристика разомкнутой системы с запаздыванием.

Из (3.99) и (3.100) видно, что наличие запаздывающего звена не меняет модуля амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы а вносит лишь дополнительный отрицательный фазовый сдвиг пропорциональный частоте, причем коэффициентом пропорциональности является время запаздывания т.

Зная амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы без запаздывания, легко построить амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы с запаздыванием. Для этого каждый модуль вектора амплитудно-фазовой характеристики нужно повернуть на угол по часовой стрелке. С ростом частоты со угол сот будет быстро расти, а модуль обычно уменьшается, поэтому амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы с запаздыванием имеет вид спирали, закручивающейся вокруг начала координат (рис. 3.31). «Закручивание» амплитудно-фазовой характеристики из-за наличия дополнительного фазового сдвига сот, вообще говоря, ухудшает условие устойчивости, так как вся амплитудно-фазовая характеристика приближается к критической точке Однако иногда при сложной форме амплитудно-фазовой характеристики введение постоянного запаздывания может улучшить условия устойчивости.

Изменяя время запаздавания х в широких пределах, можно найти такое его значение, при котором замкнутая система будет находиться на границе устойчивости.

В этом случае характеристика будет проходить через точку

Время запаздывания и соответствующее ему значение частоты при которых

Рис. 3.31

проходит через точку называют критическими.

Для критического случая справедливо следующее условие:

Условие (3.101) можно записать раздельно для амплитуд и фаз вектора;

где

Из (3.102) можно найти сначала а затем из (3.103) найти т. е.

Для систем автоматического управления с запаздыванием основное значение имеет минимальное критическое время запаздывания (при которое является в то же время и граничным

где — запас устойчивости по фазе.

Пример 3.10. Передаточная функция разомкнутой системы с запаздыванием

Определить критическое время запаздывания

Частотная передаточная функция разомкнутой системы с запаздыванием

Следовательно, условие (3.102) в данном случае

Из последнего выражения находим критическую частоту:

Рис. 3.32

Рис. 3.33

Фазовый сдвиг на критической частоте

По (3.105) находим критическое время запаздывания:

При сложном выражении для частотной передаточной функции разомкнутой системы определение критического времени запаздывания просто выполнить графически. Условие А (со определяется пересечением годографа с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3.32). Точка пересечения определяет одновременно и угол , который, будучи разделен на , даст значение критического времени запаздывания.

Если имеется несколько точек пересечения годографа с окружностью единичного радиуса, например при и созкр (рис. 3.33), то система будет иметь несколько критических граничных времен запаздывания:

причем минимальное время запаздывания равно Система будет устойчива при а также при . Система будет неустойчива при а также при . Наблюдаемое в этом случае чередование участков устойчивости и неустойчивости системы

при непрерывном изменении также других параметров системы) является характерной особенностью многих систем с постоянным запаздыванием.

Обычно для повышения быстродействия и точности системы время запаздывания стремятся уменьшить, поэтому кри-терий устойчивости формулируется лишь для минимального времени запаздывания.

Система автоматического управления будет устойчива, если время запаздывания меньше минимального критического времени запаздывания:

Критическое время запаздывания легко определяют и в том случае, когда для Исследования системы с запаздыванием применяют логарифмические амплитудно-частотные (ЛАХ) и фазочастотные (ЛФХ) характеристики. В этом случае окружность единичного радиуса представляют осью абцисс. ЛАХ системы с запаздыванием совпадает с ЛАХ исходной системы без запаздывания. Дополнительный фазовый сдвиг, который надо учесть при построении ЛФХ системы с запаздыванием, определяют из Точки пересечения ЛАХ с осью абсцисс определяют критические частоты согкр, а запасы по фазе (с учетом кратности), отнесенные к соответствующем критическим частотам, определяют критические времена запаздывания

Звенья с распределенными параметрами, описываемые уравнениями в частных производных, имеют иногда передаточные функции вида

где К — коэффициент усиления звена.

Выражения (3.106) и (3.107) отличаются от передаточных функций интегрирующего и инерционного звеньев (см. § 2.6) только квадратным корнем. По аналогии с интегрирующими и инерционными звеньями такие звенья называют полуинте-грирующими и полуинерционными. Звенья, имеющие передаточные функции вида (3.106), (3.107), (3.108), называют иррациональными звеньями. Выражение (3.108) не только иррационально, но и трансцендентно. С иррациональными звеньями приходится встречаться, рассматривая различные диффузионные

и тепловые объекты, линии связи с потерями, с распределенными сопротивлениями и емкостями и т. п.

Устойчивость замкнутых систем автоматического управления, содержащих иррациональные звенья, может быть исследована с помощью критерия устойчивости Найквиста. Формулировка критерия устойчивости Найквиста в этом случае аналогична формулировке для обычных систем автоматического управления, содержащих звенья с дробно-рациональными передаточными функциями.