§ 2.10. САР напряжения генератора постоянного тока. Математическое описание

Рассмотрим в качестве примера вывод дифференциальных уравнений и передаточных функций системы автоматического регулирования (САР) напряжения генератора постоянного тока, блок-схема которой приведена на рис. 2.29. Она состоит из электронного усилителя У, двигателя постоянного тока с независимым возбуждением являющегося исполнительным элементом, генератора Г (объекта регулирования) и делителя напряжения выходное напряжение которого в сравнивающем устройстве вычитается из заданного Определим сначала дифференциальные уравнения и передаточные функции отдельных элементов, входящих в рассматриваемую систему. Начнем с объекта регулирования.

Генератор.

Управление генератора производится путем изменения переменного сопротивления включенного в цепь возбуждения (рис. 2.30, а). Обозначив через его номинальное значение, т. е. значение при котором ток в цепи возбуждения принимает номинальное значение можно записать

Отклонение переменного сопротивления пропорционально углу поворота вала двигателя:

Здесь — положительная постоянная, знак минус указывает, что при повороте вала двигателя в положительном направлении сопротивление уменьшается, в отрицательном — увеличивается. Таким образом, входной (управляющей) величиной генератора является угол а выходной — падение

Рис. 2.29

Рис. 2.30

напряжения на нагрузке.

Составим уравнение динамики генератора без учета влияния гистерезиса, вихревых токов и т. На рис. 2.30, б приведена эквивалентная электрическая схема генератора. На ней — активное и индуктивное сопротивления обмотки возбуждения, - э. д. с. генератора, — активное сопротивление обмотки якоря (его индуктивным сопротивлением пренебрегаем), — сопротивление нагрузки (нагрузка предполагается активной). Э. д. с. генератора связана с током возбуждения нелинейной зависимостью

примерный график которой приведен на рис. 2.30, в. Дополнительное сопротивление выбирается таким, что током через него по сравнению с током нагрузки можно пренебречь. С учетом сказанного можно записать: для цепи возбуждения

для якорной цепи

В статическом режиме при номинальных значениях токов возбуждений и якоря эти уравнения принимают вид

Произведем линеаризацию в рабочей точке, соответствующей номинальным значениям токов возбуждения и якоря. Подставим в (2.117) и выражение (2.115). Отбрасывая малый член более высокого порядка, чем и учитывая (2.119), получим

или в символической форме

где

Произведя линеаризацию (2.116), получим

где

Используя это выражение для и уравнение статики (2.120), уравнения (2.118) можно преобразовать к виду

Исключив из (2.121) и (2.123) , окончательно получим одно уравнение, связывающее входную (управляющую) и выходную величины и возмущение генератора;

где

В изображениях Лапласа это уравнение принимает вид

где . К генератору приложены два внешних воздействия и он описывается двумя передаточными функциями: передаточной функцией по управляющему воздействию и передаточной функцией по возмущению. Для них имеем: в операторной форме

Рис. 2.31

и в изображениях Лапласа

На рис. 2.30, г изображена структурная схема генератора. Математическая модель генератора представляет собой по возмущению пропорциональное звено, а по управляющему воздействию — апериодическое звено (первого порядка).

Двигатель. Принципиальная схема двигателя с независимым возбуждением приведена на рис. 2.31, а. При управлении со стороны якорной цепи напряжение возбуждения На рис. приведена эквивалентная электрическая схема цепи якоря, где — активное и индуктивное сопротивления обмотки якоря, — ток якоря, - э. д.с., наводимая в обмотке якоря при его вращении. Здесь делают такие же упрощающие предположения, что и при выводе уравнения генератора.

Запишем уравнение для цепи якоря:

Э. д. с. пропорциональна угловой скорости вала двигателя: Значение постоянной зависит От тока возбуждения и конструкции двигателя. Уравнение (2.135) с учетом последнего уравнения можно преобразовать к виду

или

где — электрическая постоянная времени цепи якоря.

На основе законов механики можно записать уравнение для моментов

или

где — момент инерции вала двигателя (с учетом нагрузки); — вращающий момент; — момент сопротивления. Вращающий момент пропорционален току якоря;

Значение постоянной как и зависит от тока возбуждения и конструкции двигателя.

Исключив из (2.126), (2.127) и (2.128) момент и ток получим

Это уравнение можно преобразовать к виду

где — электромеханическая постоянная времени; — передаточные коэффициенты.

В изображениях Лапласа уравнение двигателя принимает вид:

где

Передаточные функции двигателя имеют вид: по управляющему воздействию

по возмущению (моменту сопротивления

Структурная схема приведена на рис. 2.31, в, откуда видно, что математическая модель двигателя может быть представлена: по возмущению — в виде последовательного соединения форсирующего, колебательного (или двух апериодических, если и интегрирующего звеньев, а по управляющему воздействию — колебательного (или двух апериодических, если и интегрирующего звеньев.