§ 6.10. Модифицированный метод D-разбиения. Применение полиномов Чебышева

Применяемый в ручных расчетах при построении областей устойчивости метод D-разбиения в принципе позволяет сразу определить точные границы, несмотря на наличие посторонних линий, затрудняющих выделение искомой области. D-разбиение широко применяется для построения областей устойчивости линейных систем в плоскости двух параметров, если интересующий проектировщика параметры входят в коэффициенты характеристического уравнения линейно. D-разбиение может быть в значительной степени усовершенствовано и лучше ориентировано на использование ЭВМ. Метод может быть эффективно применен для построения областей с заданным расположением корней характеристического уравнения в левой полуплоскости (внутри угла, трапеции и других фигур), может быть распространен для построения областей устойчивости в гармонически линеаризованных системах, а также для областей с заданным расположением корней в импульсных системах.

Одним из возможных путей усовершенствования метода является использование полиномов Чебышева. Полиномы Чебышева обладают свойствами как ортогональных, так и гармонических

функции. Все операции выполняются в вещественной арифметике. На возможность модифицировать D-разбиение применительно к машинной постановке впервые, по-видимому, обратил внимание Шилак, который создал методы анализа и синтеза автоматических систем [20]. В дальнейшем были продолжены исследования по усовершенствованию метода и расширению его возможностей [6].

Кратко изложим необходимые сведения о полиномах Чебышева. Полиномы Чебышева имеют ряд существенных преимуществ. Они выражаются через элементарные тригонометрические функции, обеспечивают наиболее сильную сходимость при представлении функций, коэффициенты полинома всегда суть целые числа, что важно с вычислительной точки зрения, так как целые числа не вносят ошибок округления. Чебышевские многочлены обладают всеми свойствами рядов Фурье. Их и можно рассматривать как ряды Фурье, замаскированные с помощью преобразования переменной

Рассмотрим простое тригонометрическое тождество

и аналогичное ему

Тождества позволяют вычислить значения через предыдущие значения Если положить и начать с то формула (6.53) дает для квадратный многочлен от х, для — кубический многочлен и т. д. Поэтому формулу (6.53) можно переписать в виде

В частности,

Полиномы называются полиномами Чебышева рода. По рекуррентной формуле (6.54) получаются те же значения но в виде полиномов степени относительно переменной

Подобный результат имеем для формул (6.53а), если разделить обе ее части на . В этом случае исходим из тождеств

и получаем в виде квадратного полинома относительно х, — в виде Кубического полинома и т. д. Полином степени относительно переменной мы получаем через значения

Рекуррентная формула для имеет вид

В частности,

Полиномы называются полиномами Чебышева рода.

Преобразование можно рассматривать как проекции пересечений полукруга с прямыми, имеющими равные углы между собой. Неравномерное расположение прямых, которое сгущается к концам интервала определяет область задания полиномов Чебышева родов.

Следующая формула связывает полиномы Чебышева рода при отрицательных и положительных значениях аргумента:

Полиномы Чебышева 1-го и 2-го родов связаны следующим образом:

Рассмотрим теперь использование полиномов Чебышева для перестроения D-разбиения. Пусть характеристическое уравнение имеет вид

Корни характеристического уравнения могут быть различными. Исследуем случаи комплексных, вещественных и чисто мнимых корней уравнения. Рассмотрим случай комплексных корней, представив их в тригонометрической форме:

Аргумент изменяется в промежутке Это будет соответствовать сопряженным корням, расположенным в верхней и нижней полуплоскостях

Область устойчивости соответствует значениям аргумента в промежутке По формуле Муавра имеем

Подставим выражение (6.56) в характеристическое уравнение (6.55) и приравняем нулю вещественные и мнимые части. Получим

Отметим, что в равенстве (6.58) счет начинается с так как слагаемые, соответствующие значению равны нулю. Положим Используя полиномы Чебышева, получим

Это соответствует случаю определения корней характеристического уравнения с ненулевой мнимой частью. Равенства (6.57) и (6.58) запишутся соответственно в виде

Сокращая на о, получим

Искомая область находится в левой полуплоскости, что соответствует отрицательным значениям аргумента из промежутка . Чтобы иметь дело со значениями полиномов Чебышева от положительного аргумента (что удобно с вычислительной точки зрения), в равенствах (6.59) и (6.59а) заменим переменную на —

В равенствах (6.60) и (6.61) области устойчивости соответствуют значениям из промежутка [0, 1].

Заметим, что

Пусть коэффициенты характеристического уравнения зависят от двух параметров линейно:

Подставляя выражение (6.63) в равенства (6.60) и (6.61), получим систему относительно параметров с коэффициентами, являющимися функциями

где

Решая систему (6.64) при условии, что

получим

Формулы (6.65) для коэффициентов системы (6.64) можно упростить, если вместо полиномов Чебышева ввести в рассмотрение функции

Для этих функций могут быть получены рекуррентные формулы. Умножая (6.66) на получим

или

причем

Аналогично, умножая (6.67) на получим

или

Таким образом, вместо (6.65) можно применять формулы

Используя связь между полиномами Чебышева 1-го рода рода формулы можно сделать еще проще. Перейдем от функций к функциям

Умножая на получим

Подставим теперь выражение (6.69) в формулу для Получим

или (так как )

Аналогично можно получить

Введем обозначения

Тогда

Подставляя выражения (6.70) в первое уравнение системы (6.64), получим

или

Так как последнее слагаемое равно нулю (в скобках стоит левая часть второго уравнения системы (6.64)), то первое уравнение этой системы равносильно уравнению

Таким образом, в системе (6.64) можно считать, что

Рассмотрим случай вещественных корней характеристического уравнения (6.55). Вещественные корни получаются при Тогда . В этом случае параметры связаны одним уравнением

где

Для определения используется рекуррентная формула

В плоскости параметров и и при каждом значении, уравнение (6.72) определяет прямую. Это особые прямые.

Если строится область устойчивости, то определяются две прямые, соответствующие корню, находящемуся в бесконечности, и корню, расположенному в начале координат. Если строится область с заданной степенью устойчивости , то берется корень, расположенный в точке Особые прямые совпадают с прямыми в традиционном методе -разбиения и определяются аналогично.

Найдем область параметров соответствующую чисто мнимым корням характеристического уравнения.

Чисто мнимые корни уравнения (6.55) исходя из (6.62 а) получаются при . При этом . При рекуррентная формула принимает вид (6.68):

при

Отсюда следует, что

и. следовательно, формулы для коэффициентов (6.71), определяющих систему (6.64), принимают вид

Функции вычисляются по рекуррентной формуле (6.73) при

Параметры Для каждого значения при котором

вычисляются по формулам

Полученные соотношения могут быть применены для построения областей на плоскости параметров исходя из условия расположения корней характеристического уравнения внутри угла, трапеции, полукруга или исходя из заданной степени

Рис. 6.7

устойчивости. Например, при построении области изменения параметров и исходя из расположения корней характерического уравнения внутри угла в левой полуплоскости (рис. 6.7, а) используются формулы (6.65а) и (6.71). При построении областей изменения параметров с учетом заданной степени устойчивости (рис. 6.7, б) используются формулы, полученные для случая вещественных отрицательных корней характеристического уравнения, т. е. в формулы (6.65а) подставляются формулы (6.72а)

Пример 6.6. Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы

Коэффициенты характеристического уравнения зависят от двух параметров линейно:

и имеют вид

Необходимо найти значения параметров для которых характеристическое уравнение имеет корни, расположенные слева от мнимой оси внутри угла Запишем коэффициенты характеристического уравнения следующим образом:

Определим функции для каждого значения со по рекур рентной формуле

Для имеем

Найдем коэффициенты по формуле (6.71). Параметры находятся из решения системы

откуда имеем

при условии, что

Точки и при различных значениях образуют границу искомой области. Линии, соответствующие вещественным кориям, являются особыми прямыми и определяются из уравнения. Искомые области представлены на рис. 6.8.

Отметим, что каждому вещественному корню на плоскости параметров соответствует прямая. При практических расчетах это должно учитываться (как и в обычном методе D-разбиения) с помощью двух особых прямых.

При использовании полиномов Чебышева проблема машин ной «штриховки по Неймарку» остается нерешенной. В случае построения областей устойчивости при различных степенях устойчивости могут быть использованы любые известные критерии, например критерий Рауса, а также прямые, корневые

Рис. 6.8

методы. При построении области исходя из расположения корней характеристического уравнения внутри угла, трапеции или в других областях слева от мнимой оси корневые методы являются единственно эффективными.

В заключение отметим, что модифицированный метод D-разбиения, основанный на применении полиномов Чебышева, дает возможность вести исследование импульсных, гармо нически линеаризованных систем с одной или двумя нелинейностями.