Передаточные функции.

Передаточная функция нестационарной системы в операторной форме определяется также, как и передаточная функция стационарной системы (в операторной форме) и равна отношению оператора воздействия к собственному оператору

Понятие передаточной функции в изображениях Лапласа требует уточнения. Его нельзя определять как отношение изображений выходной и входной величин, так как при этом не ясно, как вычислять по заданному дифференциальному уравнению системы. Кстати, между передаточными функциями нет такой простой связи, как это было между передаточными функциями стационарных систем.

Перейдем к определению передаточной функции Для этого воспользуемся физическим свойством частотных передаточных функций.

Как известно, частотная передаточная функция стационарной системы имеет следующий физический смысл: ее модуль равен отношению амплитуд гармонических колебаний на выходе и входе системы, а ее аргумент — сдвигу фазы. Частотная передаточная функция стационарной системы связана с ее передаточной функцией соотношением

Аналогичная связь должна существовать между частотной передаточной функцией нестационарной системы и ее передаточной функцией Поэтому, определив частотную передаточную функцию автоматически получим определение передаточной функции

Как будет показано дальше, при подаче на вход нестационарной линейной системы гармонического сигнала на ее выходе устанавливается «гармонический» сигнал той же частоты, но с переменной амплитудой. И частотную передаточную функцию определим как такую, зависящую от параметра t комплекснозначную функцию от частоты, у которой модуль равен отношению амплитуд «гармонических» колебаний на выходе и входе нестационарной системы, а аргумент — сдвигу фазы.

Для системы с весовой функцией таким свойством обладает функция

Это соотношение примем за определение частотной передаточной функции нестационарной линейной системы с весовой функцией Для ее передаточной функции из (2.99) получаем

Передаточные функции называют параметрическими.

Итак, параметрической частотной передаточной функцией нестационарной линейной системы (с весовой функцией называют функцию определяемую соотношением (2.99). Параметрической передаточной функцией нестационарной линейной системы (с весовой функцией ) называют функцию определяемую соотношением (2.100).

Докажем, что функция определяемая соотношением (2.99), действительно обладает свойствами частотной передаточной функции.

Пусть на вход нестационарной линейной системы с весовой функцией подается гармонический сигнал Представим его в виде суммы

Используя (2.98)

при получим

Сделаем замену переменной Тогда

Введем обозначение

При этом последнее выражение для принимает вид

Аналогично, при и получим

где

Решения (2.101) и (2.102) можно переписать в виде

где

Пользуясь принципом суперпозиции, для выходкой величины у при получим

Таким образом, действительно модуль функции определяемой (2.99), равен отношению амплитуд выходного и входного гармонических сигналов, а ее аргумент — сдвигу фаз.

Установим зависимость между изображениями (Лапласа) выходной и входной величинами.

Перепишем (2.98) используя замену переменной в следующем виде:

Представим входную величину с помощью обратного преобразования Лапласа:

где и подставим ее в (2.103):

Поменяв порядок интегрирования, получим

Очевидно, внутренний интеграл равен параметрической передаточной функции Поэтому можем записать

Этот интеграл совпадает с обратным преобразованием Лапласа. Поэтому, обозначив изображение выходной величины получим

Из этого уравнения следует, что параметрическая передаточная функция равна отношению изображений выходной и входной величин.

Если известна параметрическая передаточная функция и изображение входной величины, то можно определить изображение выходной величины, а затем, пользуясь таблицами или каким-либо другим способом, найти и саму выходную величину.

Параметрическую передаточную функцию можно отыскать, пользуясь ее определением (2.100), если известна весовая функция. Но проще ее можно определить по дифференциальному уравнению.

Пусть нестационарная линейная система описывается дифференциальным уравнением

где

Тогда ее параметрическая передаточная функция подчиняется дифференциальному уравнению

где

Дифференциальное уравнение (2.105) для параметрической передаточной функции имеет такой же порядок, что и дифференциальное уравнение системы. Него решение так же сложно, как и решение исходного уравнения. Поэтому рассмотрим один из приближенных методов решения уравнения (2.105). Перепишем его в следующем виде:

где

Решение будем искать в виде ряда

В качестве нулевого приближения примем

Это будет передаточной функцией системы с «замороженными» коэффициентами. Для вычисления первой поправки подставим в правую часть уравнения (2.107) полученное нулевое приближение, а в левую часть сумму нулевого приближения и первой поправки. Тогда для получим

Аналогично для поправки получим

Пример 2.9. Найдем параметрическую передаточную функцию нестационарной системы, которая описывается уравнением

В данном случае

Уравнение (2 107) принимает вид

где

Для нулевого приближения и первой поправки на основании (2.109) и (2.110) можем записать

Пользуясь (2 111), можно вычислить последующие поправки. Но если а мало, то можно ограничиться только первой поправкой и тогда