§ 3.10. Устойчивость нестационарных систем

Линейными системами с переменными параметрами или нестационарными системами (см. § 2.9) называют системы, процессы в которых описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными во времени коэффициентами

где — выходная и входная величины системы соответственно; — переменные коэффициенты, являющиеся известными функциями времени и задаваемые либо графически, либо аналитически; — символ дифференцирования.

Для нестационарных систем понятие устойчивости имеет некоторую специфику. Действительно, если предположить, что входная величина системы и к моменту времени переходные процессы в системе закончились, т. е. если принять , то из (3.109) для имеем

Из (3.110) видно, что в зависимости от характера изменения коэффициентов в нестационарной системе даже при постоянной входной величине выходная величина может изменяться неограниченно долго. Так как время работы реальных систем ограничено, что установившегося значения

в нестационарной системе за время ее работы не наблюдается и поэтому понятие асимптотической устойчивости (см. § 3.2) практически теряет свой смысл.

Существуют точные методы исследования устойчивости нестационарных систем, но они довольно сложны и на практике, обычно пользуются приближенными методами.

Наиболее простым приближенным методом исследования устойчивости нестационарных систем является метод замораживания коэффициентов. Он может применяться в тех случаях, когда нестационарная система работает в течение ограниченного интервала времени Т, а коэффициенты уравнения (3.109) за время протекания переходного процесса в системе изменяются относительно мало. В соответствии с этим методом для некоторого фиксированного значения времени определяют соответствующие ему значения коэффициентов дифференциального уравнения (3.109), заменяют исходную нестационарную систему некоторой фиктивной стационарной системой и исследуют устойчивость последней, применяя один из рассмотренных выше критериев устойчивости. Если полученная таким образом стационарная система устойчива, то считают, что исследуемая нестационарная система тоже устойчива в рассматриваемый момент времени. Затем проводят аналогичное исследование устойчивости для других фиксированных моментов времени, лежащих в интервале , где Т — время работы системы.

Если во всем рабочем интервале времени Т условия устойчивости стационарной системы, получаемой методом замораживания коэффициентов, выполняются., то исходную нестационарную систему, на этом интервале считают устойчивой.

Следует заметить, что результаты, получаемые при исследовании устойчивости нестационарных систем методом замораживания коэффициентов, не являются вполне достоверными, поскольку сам этот метод не имеет какого-либо математического обоснования. Степень достоверности будет тем выше, чем меньше изменяются коэффициенты за время протекания переходного процесса.

Эффективность рассматриваемого метода может зависеть от правильного выбора фиксированных моментов времени, для которых замораживаются коэффициенты.. Необходимо так выбирать эти моменты, чтобы охватить все возможные варианты значений коэффициентов, обратив особое внимание на «опасные» точки, в которых происходит значительное изменение коэффициента, смена его знака и т. п.

Пример 3.11. Система автоматического управления описывается дифференциальным уравнением

где

Оценить приближенно устойчивость системы, если время работы ее .

Рассмотрим систему с замороженными коэффициентами при .

В этих случаях характеристическое уравнение, соответствующее исходному дифференциальному уравнению (3.111), будет

Для (3.112) находим корни: Степень устойчивости (см. § 4.5) . Время переходного процесса . Для (3.113) корни Степень устойчивости Время переходного процесса с.

За время переходного процесса коэффициент изменяется на величину что составляет приблизительно Следовательно, система может рассматриваться как квазистационарная. Оценка устойчивости может быть сделана методом замораживания коэффициентов характеристического уравнения. Применяя критерий устойчивости Гурвица, имеем Подстановка числовых значений дает Последнее неравенство выполняется в диапазоне времени . Следовательно, исходная нестационарная система устойчива.

В общем случае, когда коэффициенты уравнения (3.109) изменяются значительно, при исследовании устойчивости нестационарных систем пользуются понятием технической устойчивости, или устойчивости на конечном интервале времени. Систему считают технически устойчивой (устойчивой на данном интервале времени работы системы Т), если выходная величина не превосходит некоторой заданной величины при . Допустимое значение величины хдоп выбирается в каждом конкретном случае из технических соображений.

На рис. 3.34 показаны возможные графики изменения для нестационарных систем. Кривые 1 и 2 соответствуют технически

Рис. 3.34

устойчивой системе, а кривые 3 и 4 — технически неустойчивой системе. Из рис. 3.34 видно, что система может быть одновременно устойчива технически и неустойчива асимптотически (кривая 1) и, наоборот, неустойчива технически и устойчива асимптотически (кривая 3). Так как в нестационарной системе изменение зависит от момента подачи входного сигнала то на техническую устойчивость будут оказывать влияние и начальные условия, и характер входного сигнала.

В настоящее время не существует достаточно простых и достаточно общих критериев технической устойчивости. По существу, единственный способ проверки устойчивости нестационарных систем заключается в нахождении кривой выходной величины при заданном входном воздействии (внешнем возмущении). Определение производят обычно либо с помощью различных приближенных аналитических методов, либо методами математического моделирования на аналоговых или цифровых вычислительных машинах.