Критерий устойчивости Льенара—Шипара.

Для исследования устойчивости систем автоматического управления, имеющих порядок характеристического уравнения удобно применять одну из модификаций алгебраического критерия устойчивости Гурвица, предложенную в 1914 г. П. Льенаром и Р. Шипаром.

Доказано, что в том случае, когда все коэффициенты характеристического уравнения (3.30) положительны из того факта, что положительны все определители с нечетными индексами, следует и положительность определителей А. Гурвица , с четными индексами, и наоборот.

Поэтому в тех случаях, когда выполнены необходимые условия устойчивости, т. е. необходимые и достаточные условия устойчивости сводятся к тому, чтобы среди определителей Гурвица были положительны все определители с четными (или же все определители с нечетными) индексами.

Таким образом, для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:

или

Последняя формулировка критерия устойчивости, называемая критерием устойчивости Льенара — Шипара, требует раскрытия меньшего числа определителей, чем обычный критерий Гурвица, а поэтому особенно удобна при исследовании устойчивости систем автоматического управления высокого порядка.

Пример 3.2. Пусть характеристическое уравнение системы Система неустойчива, так как коэффициент

Пример 3.3. Характеристическое уравнение системы Система неустойчива, так как

Пример 3.4. Характеристическое уравнение системы Все коэффициенты этого характеристического уравнения положительны, и определитель Гурвица с четным индексом равен

Следовательно, система устойчива.

Пример 3.5. Характеристическое уравнение системы

где К — коэффициент усиления разомкнутой системы; — постоянные времени отдельных динамических звеньев системы. Найдем, - пользуясь критерием Гурвица, предельнее значение коэффициента усиления разомкнутой системы как функцию постоянных времени .

Перепишем характеристическое уравнение в виде

где

Согласно критерию устойчивости Гурвица, система третьего порядка будет устойчива, если выполняются следующие неравенства:

В данном случае все коэффициенты характеристического уравнения положительны, поэтому система будет устойчива, если

Последнее неравенство можно переписать в виде

где

Предельное (критическое) значение коэффициента усиления, при котором система будет находиться на границе устойчивости, равно

Из последнего выражения следует, что предельный коэффициент усиления системы определяется не абсолютными значениями постоянных времени динамических звеньев, а их относительными значениями. Чем более резко отличаются постоянные времени друг от друга, тем больше . В частном случае, когда значение минимально и равно всего лишь