D-разбиение по двум параметрам.

На практике часто требуется выяснить влияние на устойчивость не одного параметра, а двух, которые линейно входят в характеристическое уравнение замкнутой системы так, что характеристическое уравнение можно привести к виду

где — полиномы от — изменяемые параметры, влиянием на устойчивость которых интересуются.

Подставляя в получим выражение для границы D-разбиения в плоскости параметров:

Введем обозначения

и разобьем (3.84) на два уравнения, приравняв отдельно вещественную и мнимую части нулю:

Решение системы уравнений (3.86) и (3.87) относительно

где — главный определитель системы:

— частные определители системы..

Так как , нечетные функции со, то же нечетные функции , а — четные функции со.

Задавая различные значения от до для каждого со по параметрическим уравнениям (3.88) и (3.89) определяем величины и строим границу D-разбиения в плоскости этих параметров.

При этом возможны следующие три случая:

1. При заданной частоте определитель А, а также определители не равны нулю одновременно. Тогда (3.86) и (3.87) совместны, а (3.88) и (3.89) определяют для заданного значения точку в плоскости параметров и При фиксированном и (3.87) представляет собой в этом случае в плоскости пересекающиеся прямые 1 и 2, показанные на рис. 3.25, а.

2. При некотором значении определитель А обращается в нуль, а определители не равны нулю. Тогда (3.86) и (3.87) несовместимы и не имеют конечных решений. Прямые 1 и 2 параллельны и не пересекаются, как это показано на рис.

Рис. 3.25

3. При некотором значении определитель А и оба определителя равны нулю одновременно. Тогда становятся неопределенными. В этом случае, как известно, одно из уравнений (3.86) и (3.87) становится следствием другого, отличаясь от него на некоторый постоянный множитель. Прямые 1 и 2 (рис. 3.25, в) сливаются друг с другом и, таким образом, в плоскости и для заданного получается не точка, а так называемая особая прямая, уравнение которой

Особая прямая не относится к кривой D-разбиения, так как всем точкам этой прямой соответствует одно и то же значение частоты и направление движения по прямой при изменении установить невозможно.

В большинстве практических задач особые прямые получаются при значениях . В этом случае хотя бы один из коэффициентов и входит в коэффициенты, соответствующие свободному и старшему членам характеристического уравнения. Особая прямая при получается приравниванием нулю коэффициента особая прямая при получается приравниванием нулю коэффициента Если не зависят от и то эти особые прямые отсутствуют.

После того как граница D-разбиения и особые прямые построены, их необходимо заштриховать, пользуясь следующим правилом: при возрастании а от до граница D-разбиения штрихуется слева, если и справа, если .

Поскольку, как было отмечено выше, , являются четными функциями граница D-разбиения при положительных и отрицательных значениях частоты совпадает. При изменении от до мы обходим кривую D-разбиения два раза и поэтому она штрихуется всегда двойной штриховкой.

Штриховка особых прямых, как правиле, одинарная и производится так, чтобы вблизи точки сопряжения особой прямой

и кривой D-разбиения заштрихованные и незаштрихованные стороны прямой и кривой были направлены друг к другу (рис. 3.26, а, б). В тех, сравнительно редких, случаях, когда особая прямая имеет место при некотором конечном значении частоты и при этом А проходит через нуль и меняет знак, особая прямая штрихуется по приведенному выше правилу, но двойной штриховкой (рис. 3.26, в). Если же особая прямая имеет место при и при этом А, проходя через нуль, не меняет знака, то особая прямая не штрихуется и исключается из рассмотрения (рис. 3.26, г).

Следует обратить внимание на то, что знак определителя А, определяемого (3.90), зависит от порядка расположения членов в (3.86) и (3.87). Чтобы не допустить грубых ошибок при нанесении штриховки, необходимо в (3.86) и (3.87) сначала написать члены, содержащие параметр, откладываемый по оси абсцисс, т. е. а затем члены, содержащие параметр, откладываемый по оси ординат, т. е.

После нанесения штриховки определяют область, претендующую на область устойчивости, т. е. область, внутрь которой направлена штриховка. Затем, выбирая любые значения лежащие в этой области, и подставляя их в характеристическое уравнение, нужно с помощью любого из рассмотренных ранее критериев устойчивости определить, все ли корни характеристического уравнения будут при этом левыми. Если при этом не все корни будут левыми, то в плоскости

Рис. 3.26

параметров области устойчивости нет, т. е. изменением только сделать систему устойчивой нельзя. Если же при этом все корни окажутся левыми, то рассматриваемая область действительно является областью устойчивости После этого можно разметить области в любой другой точке плоскости параметров имея в виду, что пересечение границы D-разбиения (или особой прямой с двойной штриховкой) из заштрихованной зоны в незаштрихованную соответствует переходу двух комплексно-сопряженных корней из левой полуплоскости корней в правую и наоборот. Пересечение особой прямой с одной штриховкой соответствует переходу одного корня.

Пример 3.7. Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического управления

где К — коэффициент усиления разомкнутой системы; — постоянные времени отдельных динамических звеньев.

Требуется построить границу D-разбиення в плоскости коэффициента усиления разомкнутой системы К.

Запишем характеристическое уравнение в виде где Подставляя в характеристическое уравнение получаем выражение для границы D-разбиения:

откуда

где

Задаваясь различными значениями частоты определяем и строим на комплексной плоскости кривую D-разбиения, соответствующую положительным частотам (сплошная линия на рис. 3.27). Ветвь кривой D-разбиения, соответствующую отрицательным частотам находим как зеркальное отображение относительной вещественной оси построенного участка для (пунктиряая линия на рис. 3.27). Затем кривую D-разбиения штрихуем слева по обходу при изменении частоты со от до

Кривая D-разбиення делит плоскость на три области: I, II и III. Претендентом на область устойчивости является область I, так как к ней направлена штриховка. Чтобы проверить, действительно ли эта область является областью устойчивости, задаемся значением лежащим в этой области, подставляем его в характеристическое

Рис. 3.27

уравнение и опре деляем корни получаю щегося при этом характеристического уравнения все корни которого являются левыми; следовательно, область I является областью устойчивости

Так как Коэффициент усиления К не является комплексной величиной, то нас будет интересовать только отрезок устойчивости совпадающий с действительной осью, находящейся в области устойчивости.

Система будет устойчива, если значение К изменяется в пределах Отрицательным значениям К соответствует положительная обратная связь. Для нахождения следует определить сначала значение , при котором . Если корень этого уравнения то Производя вычисления, получаем

где

На рис. 3.27 показаны области и Область в данном случае отсутствует. Это означает, что при положительных значениях и любом значении К невозможно, чтобы все три корня характеристического уравнения одновременно были правыми.

Пример 3.8. Рассмотрим теперь ту же систему, но будем интересоваться влиянием постоянной времени на устойчивость.

Запишем характеристическое уравнение в виде

где

Подставляя в характеристическое уравнение получаем выражение для границы -разбиення:

откуда

Задаваясь различными значениями частоты , можно вычислить а затем построить границу D-разбиення, которая показана на рис. 3.28. Эта кривая также штрихуется слева по обходу при изменении частоты от до

Кривая разбивает плоскость на четыре области: II, III и IV. Претендентами на область устойчивости являются области I и II. Проверим, является ли область I действительно областью устойчивости. При характеристическое уравнение является уравнением второго порядка с положительными коэффициентами; следовательно, оно имеет все левые корни.

Строго говоря, область соответствует и при этом характеристическое уравнение имеет третью степень. При уменьшении одни из корней характеристического уравнения перемещается в плоскости корней влево и при становится отрицательным бесконечно большим. Исходя из теоремы о непрерывной зависимости корней от коэффициентов уравнения можно утверждать, что система будет оставаться устойчивой не только при но и в некоторой области малых значений . Следовательно, область является областью устойчивости

Далее, пересекая кривую D-разбнения по числу штриховок и их направлению, размечаем области и Заметим, что в данном случае имеются две области устойчивости

Система будет устойчива при и при Система будет неустойчива при

Пример 3.9. Рассмотрим ту же самую систему, что и в примере 3.8, но будем считать, что два параметра системы — коэффициент усиления разомкнутой системы К и постоянная времени — могут варьироваться одновременно.

Для определения влияния изменения этих параметров на устойчивость построим границу D-разбиения в плоскости двух параметров: .

Перепишем характеристическое уравнение в виде

где

Подставляя в характеристическое уравнение , получаем выражение для границы D-разбиения где

Рис. 3.28

Приравняв нулю действительную и мнимую части, получим следующую систему двух уравнений:

Решаем эти уравнения относительно

Главный определитель системы

Кривую D-разбиения можно построить, задаваясь значениями частоты со от 0 до и вычисляя и для фиксированных значений частоты. Однако на практике для облегчения построения сначала строят кривую D-разбиения качественно. Для этого качественно строят зависимость и от а затем, пользуясь ими и исключая со, строят качественную границу D-разбиения. Качественное построение , а также граница D-разбиения показаны на рис. 3.29.

Особые прямые находим, приравнивая нулю свободный член и коэффициент при старшей степени s характеристического уравнения.

Особую прямую, соответствующую находят выражении откуда уравнение особой прямой

Особую прямую, соответствующую находят из выражения откуда уравнение особой прямой

Кривую D-разбиения штрихуют двойной штриховкой при изменении частоты со от 0 до слева по обходу, если главный определитель и справа по обходу, если главный определитель Особые

Рис. 3.29

прямые в данном случае штрихуют одинарно штриховкой, причем заштрихованные стороны прямых и кривой D-разбиения направлены друг к другу.

Итак, главный определитель при

Кривая D-разбиения и особые прямые делят плоскость на шесть областей: 1, II, III, IV, V и VI. Претендентами на область устойчивости являются области Рассмотрим точки, принадлежащие полупрямой при т. е. положительную часть оси абсцисс.

При и любом характеристическое уравнение

следовательно, все три корня характеристического уравнения при этом будут левыми, т. е.

Таким образом, положительная часть оси абсцисс принадлежит области устойчивости поэтому и вся область I является областью устойчивости. Переходя из этой области в другие через границу D-разбиения или особую прямую, размечаем остальные области и Заметим, что в данном случае имеются две области устойчивости однако нас будет интересовать только область устойчивости соответствующая физически осуществимым положительным значениям постоянной времени

Построение границы D-разбиення в плоскости двух параметров дает полную картину влияния этих параметров на устойчивость системы. При малых значениях коэффициента усиления К система устойчива при любых значениях При больших значениях К система устойчива лишь при достаточно малых либо достаточно больших значениях что совпадает с результатами, полученными в примере 3.8.