§ 6.6. Векторный способ построения переходных процессов в нелинейных системах

Пусть динамика автоматической системы описывается векторным нелинейным дифференциальным уравнением

Представим систему (6.41) в виде линейной и нелинейной частей:

Пусть спектр матрицы А системы (6.42) расположен в левой полуплоскости. Точное решение системы (6.42) можно представить в аналитическом виде:

При интегрировании с шагом получим рекуррентную формулу

Вычислим интеграл в правой части рекуррентной формулы. Используя правило прямоугольников и принимая на левом конце получим

Таким образом, имеем

Для повышения точности построения переходных процессов применим правило прямоугольников не ко всей подынтегральной функции, а только к функции , т. е. будем считать, что на длине одного шага на промежутке

В этом случае

Далее,

Матричную экспоненту представим в виде

Имеем

Вынося за скобку и учитывая, что , получим

Итак, имеем следующий алгоритм для построения переходных процессов:

Обозначим

Формулу (6.45) можно записать в виде

Более точные формулы для вычисления можно получить, используя большое число членов ряда (6.46). В качестве можно подставлять функционально-преобразованные, матрицы или использовать другие способы приближения.

Отметим, что алгоритм с самого начала предполагает расположение спектра матрицы А слева от мнимой оси.

Выбор шага в изложенном способе построения переходных процессов легко осуществляется по линейной части системы. В случае сильного влияния нелинейностей выбор шага осуществляется другими методами. Подробное их рассмотрение выходит за рамки данного учебника.

Изложенный векторный способ может быть распространен на построение переходных процессов в нелинейных нестационарных системах.

Пример 6.5. Для иллюстрации рассмотрим пример. Пусть нелинейная система описывается уравнениями

Начальные условия Требуется построить процессы в системе, удовлетворяющие заданным начальным условиям.

Представим систему в виде линейной и нелинейной частей:

где

Используем функционально-преобразованную матрицу . В качестве выберем матрицу Шаг примем равным 0,1, что соответствует выбору его по линейной части. В общем случае такой выбор не может быть универсальным и зависит от вида нелинейной функции.

Алгоритм построения процессов имеет вид

Построим матрицы

Вектор нелинейной части для каждого шага пересчитывается. Для момента времени с вектор равен

Рис. 6.6

Для момента времени с имеем

Для момента времени с вектор нелинейной части равен

Решение в момент с имеет вид

Далее

Дальнейший ход вычислений представлен на графике (рис. 6.6).