§ 4.2. Оценка качества регулирования в установившемся режиме (коэффициенты ошибок)

Рассмотрим показатели качества, характеризующие вынужденную составляющую ошибки системы. Если на входе системы (рис. 4.1) действует сигнал , то установившаяся ошибка регулирования системы , где — вынужденная составляющая регулируемой величины (4.1).

Если дифференцируема во всем интервале , то ошибка системы может быть представлена в виде ряда:

где коэффициенты принято называть коэффициентами ошибок. Формула (4.3) получена следующим образом.

Передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки (рис. 4.1)

Из (4.4) можно найти выражение для изображения ошибки:

Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд по возрастающим степеням s в окрестности точки что соответствует большим значениям времени т. е. значению установившейся ошибки при заданном управляющем воздействии.

В соответствии с (4.5) можно записать

Если передаточная функция является дробно-рациональной функцией

то разложение в ряд можно осуществить делением числителя на знаменатель, располагая члены полинома в порядке возрастания степеней. Переходя в (4.6) от изображений к оригиналам, можно получить для выражение (4.3).

Коэффициенты ошибок определяют по формулам разложения функции в ряд Тейлора:

Если то все производные тогда

В данном случае — значение установившейся ошибки в замкнутой системе.

Если ; коэффициенты и т. д.

Коэффициент называют коэффициентом статической или позиционной ошибки; коэффициент С — коэффициентом скоростной ошибки, — коэффициентом ошибки от ускорения.

В статических системах коэффициент отличен от нуля. В системах с астатизмом первого порядка . В системах с астатизмом второго порядка . Увеличение числа интегрирующих звеньев приводит к повышению порядка астатизма системы, т. е. к нулевым значениям нескольких коэффициентов ошибок, но при этом усложняется обеспечение устойчивости системы. Если на систему помимо задающего воздействия действует и возмущение (рис. 4.2), то астатизм системы относительно зависит от места включения интегрирующего звена.

Пусть воздействия на САУ являются постоянными величинами и равны Рассмотрим несколько случаев.

1. В системе отсутствуют интегрирующие звенья. Элементы 1 и 2 системы (рис. 4.2) являются инерционными звеньями и соответственно равны

Рис. 4.2

Тогда на основании метода суперпозиции установившаяся ошибка САУ

где — ошибка отработки системой задающего воздействия:

а — ошибка, вызванная действием помехи:

В данном случае САУ является статической относительно обоих воздействий, так как .

2. Допустим, что в элемент 2 рассматриваемой системы (рис. 4.2) включено интегрирующее звено, а элемент является инерционным звеном, как и в случае 1. При этом передаточная функция элемента 2

Тогда составляющие ошибки системы (4.9)

Следовательно, САУ является астатической относительно задающего воздействия и статической относительно возмущения

3. Пусть интегрирующее звено включено в элемент передаточная функция его при этом равна

Второе звено является инерционным звеном, а передаточная функция его та же, что и в случае 1.

Рассчитаем составляющие ошибки

Поскольку и система является астатической и относительно воздействия и относительно возмущения

Нужно отметить, что метод коэффициентов ошибок применяется при сравнительно медленно меняющихся воздействиях.

Пример 4.1. Для системы (рис. 4.1) определить значение устано вившейся ошибки системы. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии

где

Выходной сигнал меняется по закону Найдем передаточную функцию замкнутой системы относительно ошибки:

Коэффициенты ошибок так как система астатическая) определяют по (4.7) или разложением в ряд по возрастающим степеням s функции делением числителя на знаменатель:

Коэффициенты вычислять не имеет смысла, так как функция имеет только две производные, не равные нулю.

Определим первую и вторую производные входного воздействия

Тогда