§ 2.3. Формы записи линейных диффенциальных уравнений. Передаточные функции

При описании автоматических систем управления широко используют символическую форму записи линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим ее на примере уравнения (2.5). Перепишем его, опустив для сокращения записи знак и оставив в левой части только члены, содержащие выходную переменную и ее производные:

Введем для операции дифференцирования обозначение , т. е.

Используя его, уравнение (2.6) можно записать в виде

При записи и преобразовании дифференциальных уравнений оператор (операцию дифференцирования) можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение как произведение, не обладающее свойством коммутативности: нельзя вместо писать . Учитывая это замечание, перепишем (2.7), вынеся у и и за скобки:

Введем обозначения . С помощью этих обозначений уравнение (2.8) можно записать в более компактной форме:

В уравнении (дифференциальный оператор при выходной величине) называют собственным оператором, а (дифференциальные операторы при входных величинах) — операторами воздействия.

Передаточные функции.

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме.

Звено, описываемое уравнением (2.6) или, что то же самое, уравнениями можно характеризовать двумя передаточными функциями: передаточной функцией по входной величине u, т. е.

и передаточной функцией по входной величине т.е.

Используя передаточные функции, уравнение (2.6) записывают в виде

Это уравнение представляет собой условную, более компактную форму записи исходного уравнения (2.6). Уравнения (2.8),

(2.9) и (2.12) называют уравнениями в символической или операторной форме записи.

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Передаточной функцией или передаточной функцией в форме изображений Лапласа называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. Если звено (система) имеет несколько входов, то при определении передаточной функции относительно какой-либо одной входной величины остальные величины полагают равными нулю.

Пример 2.3. Найдем передаточные функции в форме изображений Лапласа для звена, описываемого уравнением (2.6),

Перейдем в обеих частях этого уравнения к изображениям Лапласа:

Используя свойства линейности и дифференцирования оригинала (1-е и 2-е свойства преобразования Лапласа), при нулевых начальных условиях получим

где

Полагая последовательно и определяя каждый раз отношение выходной величины к входной, получим

Сравнивая выражения (2.10), (2.11) и (2.14), нетрудно заметить, что передаточные функции в форме изображений Лапласа и в операторной форме с точностью до обозначений совпадают.

Передаточную функцию в форме изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку . В общем случае это следует из того, что дифференцированию оригинала — символическому умножению оригинала на — при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на комплексное число

Сходство между передаточными функциями в форме изображения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее. Оно имеет место только в случае стационарных звеньев (систем).

Если звено является нестационарным, т. е. коэффициенты в (2.6) зависят от времени, формула (2.14) неверна.

Используя передаточные функции (2.14), уравнение (2.13) в изображениях Лапласа можно записать

Это уравнение, как и уравнение (2.13), адекватно исходному дифференциальному уравнению (2.6) только при нулевых начальных условиях. Если начальные условия не равны нулю, то уравнениями (2.13) и (2.15) как математическими описаниями исходного звена пользоваться нельзя.

Передаточные функции системы наряду с дифференциальными уравнениями широко используются для описания систем автоматического управления (САУ). Но при ненулевых начальных условиях они не всегда являются их исчерпывающими характеристиками. Если собственный оператор и оператор воздействия системы имеют общие множители (нули), то они при вычислении передаточной функции сокращаются. И в этом случае по передаточной функции системы нельзя восстановить ее дифференциальное уравнение и получить описание процессов в ней при произвольных начальных условиях.

Рассмотрим для примера системы, которые описываются уравнениями Им соответствует передаточная функции . Их решениями при являются соответственно Эти решения совпадают только при нулевых начальных условиях. При других начальных условиях они не совпадают и передаточная функции не может служить описанием системы, определяемой первым из приведенных дифференциальных уравнений.

Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений.

Обычно линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами не выше второго порядка записывают в стандартной форме. При этом члены, содержащие выходную величину и ее производные, записывают в левой части уравнения, а все остальные члены — в правой; коэффициент при выходной величине делают равным единице. Если в правой части содержатся производные, то члены, содержащие какую-либо одну входную величину и ее производные, объединяют в одну группу и коэффицент при соответствующей входной величине выносят за скобки.

Уравнение (2.6) в стандартной форме принимает вид

где

В уравнении (2.16) постоянные и Та имеют размерность времени и их называют постоянными времени, а коэффициенты — передаточными коэффициентами. Если исходное уравнение (2.6) не содержит то в стандартной форме коэффициент при производной у должен быть равен единице: обе части уравнения делят на коэффициент

В символической форме уравнение (2.16) принимает вид

Напомним, что это уравнение представляет собой условную запись уравнения (2.16).