§ 2.7. Структурные схемы, графы, уравнения и частотные характеристики стационарных линейных систем

Структурной схемой в теории автоматического управления называют графическое изображение математической модели автоматической системы управления в виде соединений звеньев. Звено на структурной схеме условно обозначают в виде прямоугольника с указанием входных и выходных величин, а также передаточной функции внутри него. Иногда вместо передаточной функции указывают уравнение или характеристику. Звенья могут быть пронумерованы и их передаточные функции, уравнения или характеристики представлены вне структурной схемы.

Входные и выходные величины записывают в виде изображений, если передаточные функции задают в форме изображений. Если же передаточные функции задают в операторной форме или звенья описывают дифференциальными уравнениями, то входные и выходные переменные записывают в виде оригинала.

Сравнивающие (рис. 2.13, а, б) и суммирующие (рис. 2.13, в) звенья изображают в виде круга, разделенного на секторы. В сравнивающем звене сектор, на который подается «вычитаемое», затемняют (рис. 2.13, б) или перед соответствующим входом ставят знак минус (рис. 2.13, а).

Структурную схему широко используют на практике при исследовании и проектировании автоматических систем управления, так как она дает наглядное представление о связях между звеньями, о прохождении и преобразовании сигналов в системе.

При математическом описании автоматическую систему обычно изображают в виде блок-схемы и для каждого «блока» (элемента) записывают уравнения, исходя из физических законов, которым подчиняются процессы в нем. Структурную схему можно составить на основании этой блок-схемы и полученных уравнений или только на основании последних. И дальнейшие преобразования, необходимые для получения уравнений и передаточных функций системы, проще и нагляднее производить по структурной схеме.

Звено на структурной схеме не обязательно изображает модель какого-либо отдельного элемента. Оно может быть моделью элемента, соединения элементов или вообще любой части системы.

Основные правила преобразования структурных схем.

1. Последовательное соединение звеньев (рис. 2.14, а). При последовательном соединении выходная величина каждого предшествующего звена является входным воздействием последующего звена. При преобразовании структурных схем цепочку из последовательно соединенных звеньев можно заменить одним звеном (рис. 2.14, б) с передаточной функцией равной произведению передаточных функций отдельных звеньев: XV

Рис. 2.13

Рис. 2.14

Запишем уравнения звеньев

Исключив из этой системы переменные получим

откуда

2. Параллельное соединение звеньев (рис. 2.15, а). При параллельном соединении на вход всех звеньев подается один и тот же сигнал, а выходные величины складываются. Цепь из параллельно соединенных звеньев можно заменить одним звеном (рис. 2.15, б) с передаточной функцией равной сумме передаточных функций входящих в нее звеньев: Для вывода этой формулы составим уравнения для каждых звеньев:

Сложив эти уравнения и учитывая, что получим искомую формулу.

3. Звено, охваченное обратной связью (рис. 2.16, а). Принято считать, что звено охвачено обратной связью, если его выходной сигнал через какое-либо другое звено подается на вход. При этом если сигнал обратной связи вычитается из входного воздействия то обратную связь называют отрицательной. Если сигнал обратной связи складывается с входным воздействием , то обратную связь называют положительной.

Разомкнем обратную связь перед сравнивающим звеном (рис. 2.16, а). Тогда получим цепь из двух последовательно соединенных звеньев. Поэтому передаточная функция разомкнутой

цепи (рис. 2.16, а) равна произведению передаточной функции прямой цепи и передаточной функции обратной связи: .

Передаточная функция замкнутой цепи с отрицательной обратной связью — звена, охваченного отрицательной обратной связью, — равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи:

Для вывода этой формулы выпишем уравнения для каждого звена:

В этой системе последнее уравнение — уравнение сравнивающего звена — называют уравнением замыкания.

Исключив переменные и из приведенной системы, получим уравнение или . Отсюда

Если обратная связь положительна, то аналогично получим

Передаточная функция замкнутой цепи с положительной обратной связью равна передаточной функции прямой цепи,

Рис. 2.15

Рис. 2.16.

деленной на единицу минус передаточная функция разомкнутой цепи. Если передаточная функция то обратная связь называется единичной и структурная схема изображается так, как показано на рис. 2.16, в. Передаточная функция при этом принимает вид при отрицательной обратной связи при положительной обратной связи.

При преобразовании структурных схем возникает необходимость переноса и перестановки сумматоров и узлов. Рассмотрим, какие изменения в схеме при этом нужно произвести.

4. Перенос сумматора (рис. 2.17). Легко показать, что при переносе сумматора по ходу сигнала необходимо добавить звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор (рис. 2.17, а). Если сумматор переносится против хода сигнала, то необходимо добавить звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор (рис. 2.17, б).

При переносе сумматора возникают неэквивалентные участки линии связи. Эти участки на рис. 2.17 заштрихованы.

5. Перенос узла (рис. 2.18, а). При переносе узла также необходимо добавить звено. Если узел переносится по ходу сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится узел (рис. 2.18, б). Если узел переносится против хода сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится узел (рис. 2.18, в).

Рис. 2.17

Рис. 2.18

Рис. 2.19

6. Перестановка узлов и сумматоров (рис. 2.19). Узлы можно переставлять местами (рис. 2.19, а). Точно так же можно переставлять сумматоры, не добавляя звена (рис. 2.19, б). При перестановке узла и сумматора (перенос узла через сумматор) необходимо добавить звено — суммирующее или сравнивающее (рис. 2.19, в, г).

При переносе узла через сумматор, а также при перестановке сумматоров возникают неэквивалентные участки линии связи. Эти участки на рисунке заштрихованы.