Преобразование дифференциальных уравнений к нормальной системе.
Дифференциальные уравнения, разрешимые относительно старшей производной, всегда можно привести к нормальной системе. Рассмотрим, как преобразуются уравнения одномерной стационарной линейной системы управления. Пусть система управления описывается уравнением
Введем новые переменные
Из (2.81) и (2.80)
Объединяя (2.81) и (2.82), получим нормальную систему
эквивалентную исходному уравнению (2.80). Используя обозначения (2.81), легко определить решение системы (2.83), имея решение уравнения (2.80), и, наоборот, определить решение уравнения (2.80), имея решение системы (2.83).
Рассмотрим более общий случай, когда система управления описывается уравнением
или в символической форме
Учитывая, что в этом уравнении дифференциальные операторы при выходной и входной величинах и обратные им операторы коммутативны, запишем его в виде [3]
или
Введем обозначения
Учитывая их, из уравнения (2.86) получаем
Объединяя это уравнение с уравнениями (2.87), получаем нормальную систему
эквивалентную исходному уравнению (2.84). Выходная переменная системы управления и новые переменные связаны соотношением [см. (2.85)]
Рассмотрим, наконец, как преобразуется к нормальной системе общее уравнение одномерной стационарной линейной системы управления с двумя внешними воздействиями, которое запишем в виде
Здесь для удобства коэффициенты в правой части пронумерованы в обратном порядке. Кроме того, в уравнение (2.88) включены производные входные величин и и 
до 
порядка включительно. Но такая запись не нарушает общности, так как
если в действительности порядки старших производных входных величин меньше 
и равны 
и I соответственно, то это значит, что в уравнении (2.88) коэффициенты 
Уравнение (2.88) может быть преобразовано в нормальную систему вида
где коэффициенты 
и определяют из следующих соотношений:
Выходная величина у связана с фазовыми координатами равенством
Доказательство эквивалентности уравнения (2.88) и системы (2.89) при условии (2.90) и (2.91) имеется, например, в [8].
