Запись дифференциальных уравнений в нормальном форме Коши.
При рассмотрении многих вопросов удобно, если уравнения одномерных и многомерных систем записаны в виде нормальной системы. Нормальной системой или системой в нормальной форме Коши называют систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. В частности, нормальной системой линейных дифференциальных уравнений называют систему
В матричной форме она записывается как
С помощью нормированной фундаментальной матрицы решение неоднородного уравнения (2.74) при всех t и 
можно представить в виде соотношения
которое называется формулой Коши. В справедливости этой формулы легко убедиться непосредственной подстановкой в уравнение (2.74), воспользовавшись при этом матричным уравнением
которое справедливо во всех 
Это уравнение следует из того, что каждый столбец фундаментальной матрицы является решением (2.75).
Отметим ряд основных свойств нормированной фундаментальной матрицы. Воспользовавшись (2.76), для любых 
и 
легко получить следующие равенства:
Если матрица А постоянна, то фундаментальная матрица 
зависит только от разности 
к имеет вид 
Матричная функция 
называется экспоненциальной матрицей или матричным экспоненциалом и определяется суммой ряда
Рассмотрим уравнение, сопряженное (2.75): 
. Если 
нормированная фундаментальная матрица этого уравнения, т. е.
то формулу Коши можно представить в виде
Действительно, дифференцируя тождество 
получаем
или
Из последнего уравнения
или после транспонирования
Сравнивая это уравнение с уравнением для 
получаем
или
При подстановке этого выражения в (2.77) получается (2.79). Пример 2.8. Пусть система описывается уравнениями
или в матричной форме уравнением
где
Найдем нормированную фундаментальную матрицу, пользуясь (2.78). Так как
то
Согласно формуле Коши, решение неоднородного уравнения при 
имеет вид
откуда при скалярной записи получим
также называют векторами. Вектор х называют фазовым вектором или вектором состояния, а его координаты 
— фазовыми координатами. Вектор и называют вектором управления или просто управлением, а его координаты 
— параметрами управления: Вектор 
называют вектором возмущения или просто возмущением, а его 
координата — 
возмущением или 
возмущающим воздействием.
образует 
линейно независимых решений этого уравнения. Любую такую систему называют фундаментальной системой решений уравнения (2.75). Составим матрицу, полагая в качестве ее 
столбца 
решение из фундаментальной системы:
фундаментальная матрица обращается в единичную, то она называется нормированной. Используя произвольную фундаментальную матрицу Ф (0. нормированную (обозначим ее 
можно представить в виде
