§ 6.5. Векторные методы построения переходных процессов в линейных системах

Анализ устойчивости путем формирования и возведения в степень функционально-преобразованных матриц, а также с помощью других эффективных способов аппроксимации матрицы таит в себе скрытые возможности построения переходных процессов. За счет увеличенного шага можно получать семейство процессов относительно всех переменных состояния. Слишком большие значения шага увеличивают погрешность в решении, однако качественная сторона процессов в решении сохраняется.

Рассмотрим автоматическую систему, описываемую уравнением

где — вектор внешних возмущений.

Решение системы при начальных условиях может быть точно представлено в аналитическом виде:

Ставится задача найти аппроксимацию точной записи решения (6.31) уравнения (6.30).

Положим

где — шаг построения процессов.

Из (6.31) получаем

Введем обозначения

тогда

Будем вычислять интеграл приближенно по формуле прямоугольников с шагом Используя значения подынтегральной функции на левых концах частичных промежутков, получим

В качестве выберем функционально-преобразованную матрицу (см. § 6.4). Имеем

Учитывая (6.32), получим

Соотношение (6.33) запишем следующим образом:

Преобразуем правую часть этого равенства:

Сравнение с уравнением (6.33) позволяет алгоритм построения переходных процессов представить в виде

Если использовать точность построения переходных процессов, соответствующую точности усовершенствованного метода Эйлера, то формула (6.34) принимает вид

Последовательные значения искомого вектора переходных процессов находятся таким образом:

Алгоритм (6.34) может использоваться для построения переходных процессов в линейных системах при внешних воздействиях, меняющихся в широком диапазоне. Последние могут быть достаточно интенсивными, иметь разрывы. Значения функции могут определяться по ходу вычислений или вводиться таблично.

Алгоритм (6.34) не накладывает каких-либо принципиальных ограничений на шаг построения процессов, кроме условия нахождения спектра матрицы А внутри круга с центром в точке в левой полуплоскости. Процесс будет числен но устойчив, если шаг выбрать кратным величине . Пусть вначале вычисления осуществляются с шагом до точки шагов длиной , а затем вычисления продолжаются с

шагом в раз больше, т. е. равным Рекуррентная формула для такого способа вычисления имеет вид

При вычисления ведутся с шагом и формула (6.36) переходит в формулу (6.34). Матрица согласованная по точности с приведенным способом вычисления, имеет вид

Более высокая точность приближения матричной экспоненты начиная входит в противоречие со способом аппроксимации интеграла в уравнении (6.31), отражающего влияние внешнего воздействия . В этих условиях требуется повышение точности вычисления интеграла. Аппроксимируем интеграл

используя правило трапеций. Алгоритм построения переходных процессов в окончательном виде будет

Вместо можно подставить функционально-преобразованную матрицу (ФП-матрицу) или Порядок погрешности при таком способе построения процессов составляет Дальнейшее повышение точности построения переходных процессов с помощью ФП-матриц может быть достигнуто с помощью параболической аппроксимации интеграла (6.37). Построим алгорим для такого способа вычисления вектора переходных процессов. Имеем

Положим, как и прежде, Заменяя в выражении на получим

Далее имеем

или

Применим к интегралу в правой части выражения (6.40) формулу Симпсона. Тогда

Выполнив необходимые преобразования, получим рекуррентную формулу

С учетом функционально-преобразованной матрицы окончательное выражение алгоритма для построения переходных процессов имеет вид

Порядок точности при параболической аппроксимации интеграла пропорционален что соответствует по точности интегрированию с использованием функционально-преобразованной матрицы

Способ вычисления интеграла вносит систематические ошибки в значение вектора Более подробные способы исследования точности приводятся в работе Изложенные алгоритмы распространяются на построение переходных процессов в линейных нестационарных системах.

Можно выбрать максимальный шаг построения процессов по ошибке вычисления вектора на шаге. Обозначим эту ошибку через Тогда величина шага будет равна

где — число, определяющее структуру функционально-преобразованной матрицы

При величина шага

где — наибольшее по модулю собственное число матрицы А.

Максимальное время, в течение которого ошибка не будет превосходить заданной величины, равно

Пример 8.4. Проиллюстрируем на простом примере изложенные способы построения переходных процессов. Все расчеты легко выполняются на ручных калькуляторах.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

где

Вектор-функция внешних воздействий имеет разрыьной характер, причем в точках разрыва она меняет знак. Ее аналитическое выражение имеет вид

Вектор начальных условий

Шаг построения процессов выбираем из соотношения Где — радиус круга, в котором находятся все собственные числа матрицы А. Величина может быть приближенно выбрана по норме

где с — множитель, округляющий значение до ближайшего целого десятка (или сотни). Большие значения приводят к малому шагу. Найдем иорму:

Полагая , получим .

Построим переходный процесс по формуле (6.34):

В качестве примем

Значения функции можно вычислить по формулам с любой точностью. Для иллюстрации примем приближенно:

На первом шаге в момент времени с получим следующие значения переменных:

На втором шаге в момент времени с имеем

На третьем шаге в момент с имеем

На четвертом шаге в момент с имеем

Окончательно процесс представлен на рис. 6.5 (кривая 1). Проиллюстрируем применение более точной формулы (6.38) для построения переходных процессов:

На первом шаге в момент времени с имеем

Рис. 6.5

На втором шаге в момент времени с имеем

И далее

Проиллюстрируем построение переходных процессов с помощью алгоритма

Матрица равна

На первом шаге в момент времени с имеем

Далее процесс вычислений идет аналогично вышеизложенному. Окончательно кривые приведены на рис. 6.5 (кривые 2 и 3).

Отметим, что точность вычислений в последнем методе соответствует известным методам четвертого порядка. Информация о векторе переходных процессов выдается только в четных точках в формуле же используются данные и промежуточных точек.