§ 5.6. Выбор параметров и синтез корректирующих устройств по корневым годографам

Наглядность и простота исследования влияния отдельных параметров системы на ее динамические свойства составляют несомненные достоинства метода корневых годографов и обусловливают его применение как для выбора параметров, так и для синтеза корректирующих устройств.

Пусть требуется выбрать какой-то параметр а (передаточный коэффициент элемента, постоянную времени, коэффициент демпфирования). Тогда при постоянных значениях всех остальных параметров нужно задавать различные значения а внутри возможных пределов изменения этого параметра

в данной системе и построить траектории корней (корневой годограф). Затем можно выбрать такое значение а, при котором имеет место наиболее благоприятное расположение нулей и полюсов. Корни следует вычислять наиболее простым численным методом, так как большой точности не требуется из-за приближенности корневой оценки качества.

Для выбора значения передаточного коэффициента k разомкнутой системы необходимо построить корневой годограф при изменении k. Способ построения такого корневого годографа разработан весьма детально (см. § 4.6).

При синтезе корректирующего устройства используют различные исходные положения. В простейшем случае полагают, что переходный процесс зависит от ближайшего к мнимой оси вещественного полюса. Вместе с тем пользуются и предположением, что наилучшие динамические свойства система имеет, когда ближайшей к мнимой оси будет пара комплексно-сопряженных полюсов. Однако добавление третьего ближайшего к мнимой оси вещественного полюса обычно улучшает качество переходного процесса.

Необходимо также учитывать влияние нулей передаточной функции, поэтому для определения качества переходного процесса наиболее правильно рассматривать три ближайших полюса и один нуль передаточной функции замкнутой системы.

Порядок синтеза также может быть различным. Пусть требуется выбратё последовательное корректирующее устройство по заданным показателям качества переходной характеристики и при заданном значении передаточного коэффициента k разомкнутой системы. Тогда можно поступать следующим образом [1]: выяснить влияние k на показатели качества; построить корневой годограф нескорректированной системы при изменении k и отыскать на нем точки, соответствующие заданным показателям качества; добиться прохождения траекторий корней при заданном значении k вблизи выбранных точек, вводя дополнительные нули и полюсы; составить передаточную функцию последовательного корректирующего устройства по дополнительно введенным нулям и полюсам.

Следует иметь в виду, что при введении диполя, т. е. полюса и нуля, близко расположенных друг к другу, показатели качества почти не изменяются, но передаточный коэффициент может быть увеличен.

Пример расчета по изложенной схеме приведен в [13.

Предположим, что динамика системы определяется парой комплексно-сопряженных полюсов:

Тогда передаточная функция замкнутой системы

На основании переходной характеристики, соответствующей этой передаточной функции, определяют зависимость от времени регулирования и относительно перерегулирования а [3], т. е.

Теперь синтез последовательного корректирующего устройства по заданным значениям и а будет слагаться из следующих этапов:

I. Намечают положение определяющей пары полюсов т. е. пары полюсов передаточной функции (5.35), которая приблизительно эквивалентна передаточной функции скорректированной системы на основании заданных показателей качества . При этом используют соотношения (5.36). На диаграмме достаточно отметить только один полюс

2. Наносят на диаграмму полюсы и нули неизменяемой части системы.

3. Вводят дополнительные нули и полюсы так, чтобы траектория корней скорректированной системы при изменении k проходила вблизи полюса Желательно скомпенсировать нулями ближайшие к мнимой оси полюсы неизменяемой части системы, с тем чтобы влияние полюсов на динамику системы было действительно определяющим. Точка будет принадлежать траектории корней скорректированной системы, если удовлетворяется уравнение фаз (4.36).

4. Вводят диполь так, чтобы передаточный коэффициент k имел необходимое значение. При этом для вычисления k используют (4.37).

5. Составляют передаточную функцию последовательного корректирующего устройства по введенным полюсам и нулям.

6. Для проверки выполнения требований строят переходную характеристику скорректированной системы.

Пример 5.1. Передаточная функция неизменяемой части системы

Требуется выбрать последовательное корректирующее устройство, обеспечивающее при следующие показатели качества:

Рис. 5.2!

Подставляя в , получаем

Наносим на комплексную плоскость (рис. 5.21) определяющий полюс и полюсы неизменяемой части системы Вводим дополнительный нуль который скомпенсирует ближайший к мнимой оси полюс неизменяемой части системы.

Введем еще дополнительный полюс так, чтобы полюс находился на траектории корней скорректированной системы. Для этого по уравнению фаз определяем угол наклона вектора , т. е.

Подсчитаем, какому значению передаточного коэффициента k соответствует точка траектории корней скорректированной системы (4.37):

Значение k удовлетворяет требованиям; следовательно, вводить диполь не требуется.

По значению нуля и полюса определяем передаточную функцию последовательного корректирующего устройства:

При этом передаточная функция скорректированной системы

Переходная характеристика системы

изображена на рис. 5.22.

Она имеет следующие показатели качества:

Итак, при выбранном последовательном корректирующем устройстве

Рис. 5.22

система удовлетворяет требованиям. Одиако следует заметить, что показатели качества скорректированной системы заметно отличаются от тех значений по которым производится расчет. Это объясняется недостаточным удалением полюсов (см. рис. 5.21) от определяющей пары комплексно-сопряженных полюсов. В результате полюсы скорректированной системы имеют следующие значения: т. е. пара комплексносопряженных полюсов отличается от выбранной (определяющей) и на динамику системы оказывает влияние полюс